آزمون مقایسه


آزمون مقایسه از جمله آزمونهایی است که برای تعیین وضعیت همگرایی و واگرایی سریها با جملات حقیقی و مختلط استفاده می شود. اساس کار این آزمون بر پایه مقایسه جملات سری مورد بحث با جملات یک سری است که از وضعیت همگرایی آن اطلاع داریم. پس برای انجام این آزمون نیاز به در نظر گرفتن یک سری دیگر که از وضعیت همگرای آن اطلاع داریم، می باشد. این آزمون به دوصورت انجام می گیرد که به شرح آنها می پردازیم:
  • آزمون مقایسه نوع اول:
این آزمون بیان می کند اگر یک سری همگرا باشد و عدد حقیقی C (غیر وابسته به n) چنان موجود باشد که آنگاه سری هم همگرا است.
همچنین اگر سرییک سری واگرا باشد وآنگاه سرییک سری واگرا است.
به طور خلاصه می توان گفت اگر دو سری و را داشته باشیم که آنگاه:
  • اگر سری همگرا باشد آنگاه سری نیز همگرا است.
  • اگر سری واگرا باشد آنگاه سری نیز واگرا است.

  • آزمون مقایسه نوع دوم:
نوع دیگری از آزمون مقایسه به این صورت است که اگر سری همگرا باشد و عددی حقیقی چون C غیر وابسته به n به گونه ای موجود باشد که آنگاه سری همگرا است.
همچنین اگر سری واگرا باشد و آنگاه سری نیز واگر است.
به طور خلاصه اگر و دو سری باشند کهآنگاه:
  • اگر همگرا باشد آنگاه سری نیز همگرا است.
  • اگر سری واگرا باشد آنگاه سری نیز واگرا است.
این بیان از این آزمون بر اساس آزمون نسبت دالامبر نتیجه گرفته شده است.
  • حال با ارائه چند مثال روش انجام آزمون را برسی می کنیم:
می خواهیم وضعیت همگرایی سری را بررسی کنیم. می دانیم به ازای n>3 داریم: پس در نتیجه داریم
و چون سری همگرا است پس سری هم همگرا است.
حال می خواهیم همگرایی سری را بررسی کنیم. می دانیم که پس از طرفی می دانیم سری سری هارمونیک است و واگرا است پس در نتیجه سری نیز واگرا است.