نمونه سئوالات حسابان

۱
۲
۳
۴
۵
۶
۷
۸
۹

نموه سئوالات درس ریاض ۲ رشته تجربی و ریاضی کلاس دوم دبیرستان

به تفکیک فصل ها

۸۹
۸۹
۸۹

 

بر روی لینک مورد نظر راست کلیک کنید و گزینه ی       save link as      را انتخاب کنید

 

فصل۱	۸۸	۸۹
فصل۲		۸۹
فصل۳	۸۸	۸۹
فصل۴	۸۸	۸۹
فصل۵	۸۸	۸۹
فصل۶	۸۸	۸۹
فصل۷	۸۸	۸۹
فصل۸	۸۸
فصل۹	۸۸

شعری زیبا:

پدري با پسري گفت به قهر

که تو آدم نشوي جان پدر


حيف از آن عمر که اي بي سروپا

در پي تربيتت کردم سر


دل فرزند از اين حرف شکست

بي خبر از پدرش کرد سفر


رنج بسيار کشيد و پس از آن

زندگي گشت به کامش چو شکر


عاقبت شوکت والايي يافت

حاکم شهر شد و صاحب زر


چند روزي بگذشت و پس از آن

امر فرمود به احضار پدر


پدرش آمد از راه دراز

نزد حاکم شد و بشناخت پسر


پسر از غايت خودخواهي و کبر

نظر افگند به سراپاي پدر


گفت گفتي که تو آدم نشوي

تو کنون حشمت و جاهم بنگر


پير خنديد و سرش داد تکان

گفت اين نکته برون شد از در


«من نگفتم که تو حاکم نشوي

گفتم آدم نشوي جان پدر»

جامي

حل معادلات درجه سوم آسان شد!

Cubic Formula versus Quadratic Formula

آنچه در زیر میخوانید خلاصه ی تحقیقی است که آقای بیژن اسدی در حدود دو سال پیش بر روی معادلات درجه سوم انجام داده است و نتیجه ی آنرا در یک مقاله ی تقریبا" بیست صفحه ای در اکتبر گذشته در یک کنفرانس ریاضی در شمال غرب کانادا عرضه نمود.

 

 این کنفرانس که همه ساله در ماه اکتبر در غرب کانادا برگزار میشود و بمدت سه روز ادامه دارد از جمله کنفرانس های خوب و معتبر ریاضی آمریکای شمالی است که در حدود دو هزار تن از ریاضی دانان، اساتید، دانشجویان و دبیران ریاضی از سراسر نقاط دنیا( ولی بیشتر از آمریکا و کانادا ) را به خود جلب میکند. این کنفرانس در حدود دویست  "کارگاه" دارد که هر کدام  بین یک تا سه ساعت طول میکشد. تقریبا" دویست سخنران در این کارگاه ها سخنرانی میکنند و حاصل تحقیقات یا تجربیات خود در زمینه ی آموزش ریاضیات( از کلاس اول دبستان تا کالج) را بر شرکت کنندگان در کنفرانس عرضه میدارند. همچنین موسسات انتشاراتی کتابهای ریاضی و شرکتهای سازنده ی ماشین های حسابگر و ابزارهایی که در راه آموزش ریاضیات در کلاسهای درس بکار برده میشوند آخرین آثار و اختراعات و ابداعات خود را به معرض نمایش میگذارند. کنفرانس امسال در شهر ویکتوریا، مرکز استان بریتیش کلمبیا برگزار شد.

 

آقای بیژن اسدی در سخنرانی خود با عنوان "حل معادلات درجه سوم آسان شد"، نخست مروری داشت بر تاریخچه حل معادله درجه سوم از آغاز تا امروز. برای وی باعث مباهات بود که به شرکت کنندگان در این کنفرانس ، از عمر خیام به عنوان یکی از پیشروان حل معادلات درجه سوم بگوید و به تشریح روش هندسی این ریاضیدان بزرگ که تقریبا" هزار سال پیش ریشه ی مثبت یکدسته از معادلات درجه سوم را از طریق برخورد یک دایره و یک سهمی پیدا نمود، بپردازد. نیز از همکاری خیام در ایجاد تقویم جلالی و مقایسه دقت آن با تقویم گره گوری یاد نمود. همچنین از تلاشهای موفقیت آمیز ریاضیدانان قرن شانزدهم ایتالیا در حل معادلات درجه سوم ذکری به میان آورد. پس از آن به تشریح جزئیات تحقیقات ویافته های خود پرداخت. ( او در نظر داشت و از قبل هم آماده کرده بود که در پایان سخنرانی اش چند رباعی از خیام، از آن رباعی هایی که بیشتر مورد پسند ملل مغرب زمین است، برای حضار  با آواز بخواند، به همان شکل که در بوستان شعر و آواز خوانده است ولی متاسفانه وقت اجازه نداد.)

 

اصل مقاله قرار است که  در یکی از ژورنال های ریاضی کانادا منتشر شود،   عجالتا" خلاصه مقاله را در زیر ملاحظه بفرمایید. همین خلاصه هم، خود برای حل هر نوع معادله درجه سوم یک مجهولی کافی است و اصل مقاله در واقع به تشریح استخراج این فرمولها میپردازد و دانستن آن برای حل معادله درجه سوم ضروری نیست.

 

از مجموع آرایی که از مستمعین پس از پایان سخنرانی ایشان دریافت شد چنین بنظر میرسد که روش زیر ساده ترین و کوتاهترین و در عین حال دقیقترین روش برای حل هر نوع معادله درجه سوم میباشد.

 

ادامه مطلب

تجزیه عبارات جبری درجه دوم هم آسان شد!

 

بدون تردید تجزیه عبارات جبری درجه دوم که عموما"به شکل ax²+bx+c    نوشته میشوند یکی از مهمترین مهارتهایی است که دانش آموزان دبیرستانی در مقدمات جبر می آموزند و این مهارت کاربرد بسیار وسیعی در قسمتهای مختلف دروس ریاضی دارد.

 

ادامه مطلب

ضرب عدد 37 در مضربهای عدد 3 :  

۱۱۱ =۳۷×۳

۲۲۲=۳۷×۶

۳۳۳=۳۷×۹

۴۴۴=۳۷×۱۲

۵۵۵=۳۷×۱۵

۶۶۶=۳۷×۱۸

۷۷۷=۳۷×۲۱

۸۸۸=۳۷×۲۴

۹۹۹=۳۷×۲۷

 

 ۹=۱+۸×۱

۹۸=۲+۸×۱۲

 ۹۸۷=۳+۸×۱۲۳

۹۸۷۶=۴+۸×۱۲۳۴

۹۸۷۶۵=۵+۸×۱۲۳۴۵

۹۸۷۶۵۴=۶+۸×۱۲۳۴۵۶

۹۸۷۶۵۴۳=۷+۸×۱۲۳۴۵۶۷

۹۸۷۶۵۴۳۲=۸+۸×۱۲۳۴۵۶۷۸

۹۸۷۶۵۴۳۲۱=۹+۸×۱۲۳۴۵۶۷۸۹

 

 

۸=۸+۹×۰

۸۸=۷+۹×۹

۸۸۸=۶+۹×۹۸

۸۸۸۸=۵+۹×۹۸۷

۸۸۸۸۸=۴+۹×۹۸۷۶

۸۸۸۸۸۸=۳+۹×۹۸۷۶۵

۸۸۸۸۸۸۸=۲+۹×۹۸۷۶۵۴

۸۸۸۸۸۸۸۸=۱+۹×۹۸۷۶۵۴۳

۸۸۸۸۸۸۸۸۸=۰+۹×۹۸۷۶۵۴۳۲

 

۸۸۸۸۸۸۸۸۸۸=۱-۹×۹۸۷۶۵۴۳۲۱

۸۸۸۸۸۸۸۸۸۸۸=۲-۹×۹۸۷۶۵۴۳۲۱۰

 

 

نمونه سوالات هندسه ی 2 سوم ریاضی
ادامه مطلب

142857

اگر عدد مذکور را در دو ضرب کنیم، حاصل: 285714 میشود! (به ارزش مکانی 14 توجه کنید).

اگر این عدد را در سه ضرب کنیم حاصل: 428571 میشود!(به ارزش مکانی 1 توجه کنید).

اگر این عدد را در چهار ضرب کنیم حاصل: 571428 میشود!( به ارزش مکانی 57 توجه کنید).

اگر این عدد را در پنج ضرب کنیم حاصل: 714285 میشود!(به ارزش مکانی 7 توجه کنید).

اگر این عدد را در شش ضرب کنیم حاصل: 857142 میشود! (سه رقم اول با سه رقم دوم جا بجا شده)

اگر این عدد را در هفت ضرب کنیم حاصل: 999999 میشود!

این عدد هزاران ساله که به عنوان یه عدد جالب مورد توجه بوده. 142857 در واقع دوره گردش عدد 1/7 هست و خاصیتهای جالب دیگه ای هم داره!

همونطور که میبینید، مضارب این عدد همه یا 142857 (با گردش حلقوی) هستند یا 999999 . جالب اینجاست که برای اعداد بزرگتر هم این روند به صورت دیگه ای ادامه داره!
مثلا 8*142857 میشه 1.142.856، حالا اگه رقم اول رو با 6 رقم بعد جمع کنید حاصل میشه: 142.857
42*142857 میشه 5.999.994، حالا اگه رقم اول رو با 6 رقم بعد جمع کنید حاصل میشه: 999.999
و 142857*142857 میشه 20.408.122.499، حالا اگه 5 رقم اول رو 6 رقم بعد جمع کنید حاصل میشه: 142.857


این عدد بهترین عدد حلقوی هست!
چند عدد حلقوی دیگه عبارتند از:
0588235294117647
052631578947368421
0434782608695652173913
0344827586206896551724137931
0212765957446808510638297872340425531914893617
0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661
016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459

یه روشی برای ضرب اعداد وجود داره شاید خییلی از شماها بدونید و شاید هم کسایی مثل خودم باشن که امروز این روش رو یاد بگیرن ... بیشتر به درد بچه های عزیز کنکوری میخوره که سر کنکور هنگ میکنن که 17x17 یا مثلا 8x42 چی میشه ...
روشش هم به این صورته که میبینید ... عدد اول رو به صورت خطی میکشیم و بعدش عدد دوم رو عمود بر خطوط عدد اول به همون صورت رسم میکنیم ... نقاط قطع شده رو میشموریم و اونایی که در یه قطر قرار میگیرن رو با هم جمع میکنیم ... رقم های بدست اومده رو کنار هم میذاریم ... البته باید توجه بشه که اگه عدد دو رقمی به بعد شد باید رقم دهگان به بعدش رو با رقم های بعدیش جمع کنیم ...

اینا هم دوتا مثال دیگه هست ... هر عددی رو میتونید از این روش ضرب کنید اما پیشنهادم اینه که عددهاتون رقمهاشون تک تک کمتر از 5 باشه که راحت باشید وگرنه در غیر این صورت بهتره از همون ماشین حساب استفاده کنید ...

بازه ها و اعداد حقیقی
ادامه مطلب

دانلود کنید

دانلود کنید

دانلود كنيد

اين مطالب در ادامه ي مطالب قبل آمده است اما به دليل اينكه با كمي عجله تهيه شده است ممكن است بدون اشكال نباشد متشكرم

مشتق 2

آموزش مشتق

تعریف

هر عبارت به صورت را یک سری نامتناهی (یا به طور ساده) یک سری می‌نامیم.

هر یک از اعداد را یک جمله این سری نامیده و مجموعهای متناهی


و به طور کلی

را مجموعهای جزئی اول، دوم، سوم و nام سری می‌گوییم. همچنین دنباله

را دنباله مجموعهای جزئی سری می‌نامیم.

همگرایی سریها

فرض می‌کنیم یک سری و دنباله مجموعهای جزئی آن باشد. در این صورت ، اگر دنباله همگرا باشد، یعنی وجود داشته باشد، سری را همگرا و S را مجموع آن می‌نامیم. در غیر اینصورت سری را واگرا می‌گوییم.

شرط لازم همگرایی

اگر سری همگرا باشد، وقتی که ، جمله عمومی آن به سوی صفر می‌گراید.

آزمون واگرایی

اگر ، یا وجود نداشته باشد، آنگاه سری واگراست.

سری هندسی

هر سری به صورت
را که در آن r,a اعدادی حقیقی هستند و ، می‌نامیم. a را جمله اول، r را قدر نسبت این سری هندسی می‌گوییم.

ویژگیهای سری هندسی

سری هندسی دارای ویژگی های زیر است:
الف) اگر ، این سری همگرا است و مقدار سری هندسی برابر است با ، این سری واگراست.

قضایای مهم در سریها

• اگر و دو سری همگرا باشند، آنگاه

الف) همگرا است و .
ب) اگر C عددی حقیقی باشد، آنگاه همگرا است و واگرا و سری همگرا باشد. در این صورت:

الف) سری واگراست.
ب) اگر C عددی ناصفر باشد، آنگاه سری واگراست.
از این دو قضیه می‌توان دو نتیجه به دست آورد:
نتیجه1) ضرب هر جمله سری در ثابتی غیر صفر تاثیری در همگرایی یا واگرایی سری ندارد.
نتجه2) حذف (یا جمع) یک تعداد متناهی از جملات سری تاثیری در همگرایی یا واگرایی سری ندارد.

آزمون انتگرال

فرض می‌کنیم یک سری و f یک تابع باشد که به ازای نامنفی، پیوسته و کاهشی است و به ازای ، در این صورت:

الف) سری همگرا است اگر انتگرال ناسره واگرا است اگر و دو سری باشند به طوری که به ازای هر n ، و , ، اگر باشد در این صورت:

الف) اگر L>0 باشد، آنگاه یا هر دو سری همگرا یا هر دو واگرا هستند.
ب) اگر L=0 و همگرا باشد، آنگاه نیز همگرا است.
ج) اگر و اگرا باشد، آنگاه واگراست.

سری متناوب

می‌گویند یک سری عددی متناوب است، هرگاه علامت جملات آن به طور متناوب مثبت و منفی باشد.

آزمون لایبنیتز

اگر در سری متناوب قدرمطلق هر جمله از قدرمطلق جمله قبل کوچکتر و حد دنباله در nای که به بینهایت میل می‌کند برابر صفر باشد، سری همگراست و مجموع آن عددی مثبت و کوچکتر از جمله اول سری است.

همگرایی مطلق و مشروط

1. اگر سری همگرا باشد، می‌گوییم که سری همگرای مطلق است.
2. اگر سری همگرا ولی واگرا باشد (یعنی این سری همگرا، همگرای مطلق نباشد) آنگاه می‌گوییم که سری همگرای مشروط است.

سریهای مختلط

سریهایی که جملات آنها اعداد مختلط هستند به صورت زیر تعریف می‌شوند:

اعمال روی سریها

جمع سریها

اگر دو سری به جملات حقیقی یا مختلط همگرا باشند، و مجموع آنها را به ترتیب با A و B نمایش دهیم، آنگاه سری که جمله عمومی آن است همگرا و مجموع آن برابر A+B می‌باشد.

ضرب سریها

اگر دو سری با جملات حقیقی یا مختلط همگرایی مطلق باشند، و مجموع آنها را به ترتیب با A و B نمایش دهیم، آنگاه سری همگرای مطلق است و مجموع آن برابر است با AB.

در ریاضی سری عبارت است از مجموع جملات یک دنباله.به عبارت دیگر سری شماری از اعداد است که بین آنها عملگر جمع قرار گرفته است.

سریها بر دو نوعند:سریهای متناهی و نامتناهی؛که سریهای متناهی را می توان با اعمال ساده جبری محاسبه کرد،ولی برای محاسبه سریهای نامتناهی باید از آنالیز کمک گرفت.
به عنوان مثال سری زیر یک سری متناهی است.



سری نامتناهی، سری میباشد که جملات آن محدود نیست.
به این سری توجه نمایید:

این سری یک سری عددی نامتناهی میباشد.که در حالت کلی به صورت زیر نشان داده میشود.که به آن سری هندسی میگویند.


a را جمله اول و k را قدر نسبت سری می نامند.مجموع n جمله اول یک سری رابا نشان میدهند
در صورتی که به سمت یک عدد متناهی سیر کند آن را همگرا مینامند. در غیر این صورت به آن یک سری واگرا گویند.
حال به معرفی نوع دیگری از سریها به نام سریهای توانی می پردازیم:سریهایی را که جملات آن توابعی از متغیر x باشند را سریهای توانی گویند.و مجموعه مقادیر از x که به ازای آنها توابع موجود در سری تعریف شده و سری همگرا باشد را میدان همگرایی سری گویند.

هر سری تابعی به شکل
را یک سری توانی بر حسب میگویند.واضح است که جملات آن به فرم زیردر میآید:


حال به قضیه مهمی به نام قضیه تیلور میرسیم؛طبق این قضیه میتوان هر تابعی را که در یک بازه بینهایت بار مشتق پذیر باشد میتوان در این بازه به صورت یک سری توانی نامتناهی که به سری تیلور معروف است نشان داد.به عنوان مثال تابعی مانند را میتوان به صورت جمع توابعی بر حسب نوشت.
قبل از اینکه به توضیح کامل درباره این سریها بپردازیم.مثالی را در مورد این سریها بیان میکنیم.تابع sinx را در نظر بگیرید.این تابع را میتوان به صورت سری زیر بیان کرد:




لازم به توضیح است که در سری فوق c=0 در نظر گرفته شده است.

در اشکال زیر نمودار سری به ازای n=4؛ n=7 و نمودار sinx از راست به چپ رسم شده است.
همانطور که مشاهده میشود هر قدر تعداد جملات سری افزایش یابد شکل آن به یک منحنی تبدیل مشود.و اگر تا بینهایت رسم شکل ادامه یابد به شکل تابع sin در می‌آید.

حال به شکل تابع sinx توجه کنید متوجه میشوید که با ادامه روند رسم اشکال به ازای nهای نامتناهی سرانجام به شکل sinx خواهیم رسید.
حال در زیر به تشریح کامل سریهای تیلور می پردازیم.

بحث جامع

در ریاضیات، سری‌های تیلور از یک تابع f حقیقی (یا مختلط) که معمولا بطور نامحدود مشتق پذیر بوده و در یک فاصله باز (a-r و a+r ) تعریف شده، بصورت سریهای توانی زیر میباشد:



که در آن !n فاکتوریل n و (f ⁽ⁿ⁾(a به معنی مشتق nام f در نقطه a می‌باشد.

اگر این سریها برای هر مقدار x در فاصله (a-r, a+r) همگرا بوده و مجموع آن برابر (f(x باشد، آنگاه تابع (f(x تحلیلی نامیده می‌شود. برای اطمینان از همگرایی سریها به (f(x، معمولا از تخمین برای جمله باقیمانده قضیه تیلور استفاده میشود. یک تابع تحلیلی است، اگر و فقط اگر بتوان آنرا بصورت یک سریهای توانی نمایش داد؛ ضرایب در سریهای توانی لزوما همان ضرایبی است که در فرمول سریهای تیلور داده شده است.

اگر a = 0 باشد، این سریها به نامسریهای مک‌لورن (Maclaurin) نامیده می‌شود.
اهمیت یک چنین سریهای توانی سه جانبه است. اول، مشتق گیری و انتگرال گیری سریهای توانی میتواند جمله به جمله انجام شود لذا بطور خاصی ساده است. دوم، یک تابع تحلیلی میتواند بطرز یکتایی به تابع هولومورفیک (holomorphic) تعریف شده روی یک صفحه باز در روی سطح مختلط، امتداد داده شود، که مکانیزم کامل تحلیل مختلط را فراهم می‌نماید. سوم، سریهای (کوتاه شده) می تواند برای محاسبه مقادیر تقریبی تابع استفاده شود.


توجه داشته باشید که مثالهایی برای توابع (f(x که دارای مشتقات محدود بوده و سریهای تیلور آنها همگرا بوده ولی برابر (f(x نیست، وجود دارد. برای مثال، برای تابع تعریف شده مقطع بصورت (f(x) = exp(−1/x² اگر x ≠ 0 وf(0) = 0،
تمام مشتفات در نقطه x = 0 صفر میباشند، بنابراین سریهای تیلور (f(x صفر بوده، و شعاع همگرایی آن محدود است، اگر چه تابع بطور یقین صفر نمی باشد. این آسیب، توابع ارزشمند- مختلط برای یک متغیر مختلط را مخدوش نمی نماید. توجه اینکه با نزدیک شدن z به سمت 0 در طول محور فرضی (exp(−1/z² به 0 نزدیک نمی شود.

بعضی از توابع را نمیتوان بصورت سریهای تیلور نوشت زیرا آنها دارای حالت استثنایی می باشند؛ در این حالتها، اغلب نیز میتوان به بست سریهایی دست یافت اگر بتوان از توانهای منفی متغیر x استفاده نمود؛ رجوع شود به سریهای لارنت (Laurent). برای مثال، (f(x) = exp(−1/x² را می‌توان بر حسب سریهای لارنت نوشت.

قضیه پیشرفت اخیر برای یافتن سریهای تیلوری است که بتواند راهکاری برای معادلات دیفرانسیل باشد. این قضیه توسعه تکرار پیکارد (Picard) میباشد.

فهرست سریهای تیلور

چندین بست سریهای تیلور مهم بشرح ذیل میباشد. تمام این بستها نیز برای متغیرهای مختلط x صادق می باشد.

توابع اکسپتانسیلی و لگاریتم طبیعی:





سریهای هندسی:



قضیه فرعی-جزیی«Binomial»:



توابع مثلثاتی:













توابع هایپربولیک:

توابع لامبرت (Lambert's W):

اعداد B_k که در بستهای (tan(x و (tanh(x ظاهر می شوند همان اعداد برنولی ، (C(α,n در بستهای فرعی-جزیی ضرایب فرعی-جزیی بوده و E_k در بستهای (sec(x همان اعداد اولر می باشند.

چند بعدی

سریهای تیلور را به توابع با چند متغیر نیز تعمیم داد.

سری فوریه ، روشی در ریاضیات می‌باشد که به وسیله آن ، هر تابع متناوبی به صورت جمعی از توابع سینوس و کسینوس می‌تواند نوشته شود. نام این قضیه به اسم ریاضیدان فرانسوی ، ژوزف فوریه ثبت شده است.
در نظریه سریهای فوریه نشان داده شده است که اگر (f(x در شرایطی مثل (شرط دیریشله) صدق کند، می‌توان آن را به صورت سری هماهنگی به شکل:

بسط داد و اینکه در نقاط ناپیوستگی سری سمت راست رابطه فوق برابر مقدار متوسط است. ضرایب a_n و b_n را می‌توان با استفاده از روابط متعامد:







که در آنها _mnδ نماد کرونکر است که به ازای m=n برابر واحد و در غیر اینصورت صفر است. همچنین اگر یک تابع متناوب با تناوب T باشد یا به عبارتی: (f(t + T) = f(t آنگاه ، این تابع به صورت زیر می‌تواند نوشته شود:



در اینجا داریم:





سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:



که


حساب کرد. می‌توان نشان داد که این سری به طور یکنواخت در بازه (L/۲ , -L/۲) همگراست، بطوری که انتگرال گیری جمله به جمله در استنتاج این معادلات کار بجایی است. این معادلات را با تبدیلات زیر ادامه می‌دهیم:





در نتیجه:



بنابراین:





حال با تغییر بازه انتگرال گیر فوق به {o,2L} داریم:





این سری را می‌توان به صورت زیر هم نوشت:



به عنوان آزمون:







بنابراین:



ضریب A_n را می‌توان به صورت زیر توسعه داد:





در نهایت در بازه {L/2 , L/2-} سری فوریه به صورت:



و

تعریف می‌شود.

---

سری نامتناهی را سری هارمونیک یا همساز می گویند. علت نامگذاری این سری به این عنوان به این دلیل است که طول موجهای حاصل از ارتعاش های یک تار مرتعش با نسبت های متناسب است. این سری اگرچه به کندی افزایش می یابد اما از دسته سریهای واگرا است و حاصل آن بینهایت است.

• اثبات واگرایی سری هارمونیک:

برای اثبات همگرایی این سری می توان جملات آن را به این صورت نوشت:

مجموع جملات در هر گروه بزرگتر از است و چون تعداد گروهها که مجموع جملاتشان بزرگتر از است نامتناهی است مجموعه جزیی سری از هر عدد دلخواه بزرگتر می شود. پس این سری همگرا نمی باشد.

• این اثبات به نیکُل اورسم(Nicole d'Oresme) منسوب است. وی اولین فردی بود که در مورد واگرایی سری هارمونیک اثباتی را ارائه داد، اما این اثبات برای قرنها گم نام باقی ماند. بعد از او به ترتیب پیترو منگُلی(Pietro Mengoli) در سال 1647، یوهان برنولی(Johann Bernoulli) در سال 1687و بعدها یاکوب برنولی(Jakob Bernoulli)، اثباتهایی برای واگرایی این سری ارائه کردند. البته با استفاده از آزمونهای همگرایی سریها از جمله آزمون انتگرال هم می توان واگرایی این سری را نشان داد.

همچنین در شکل نمودار تعییرات مقدار سری بر حسب تعداد جملات را مشاهده می کنید. مشاهدی می شود این سری هر چند کند، در نهایت به سمت بینهایت میل می کند.

• لازم به توضیح است سری تعمیم یافته سری هارمونیک است که به آن تابع زتای ریمان(Riemann zeta Function) می گویند.

سری هارمونیک متناوب

---

سری را سری هارمونیک متناوب می گویند که حاصل آن با استفاده از سری تیلر لگاریتم طبیعی بدست می آید و برابر است با . همچنین این سری را نیز می توان حالت خاص از تابع اتای دیریکله(dirichlet eta function ) دانست.

• برهان: می دانیم با استفاده از بسط تیلر لگاریتم طبیعی داریم:

حال اگر قرار دهیم x=1 خواهیم داشت:

پس تساوی فوق برقرار است.

در شکل زیر نمودار تغییرات مقدار سری هارمونیک متناوب را بر حسب تغییرات تعداد جملات مشاهده می کنید:

عدد هارمونیک

---

عدد هارمونیک عددی است که از جمع جملات سری هارمونیک بوجود می آید. n امین عدد هارمونیک را با نماد نشان می دهند و به این صورت تعریف می کنند:

• سرعت رشد عدد هارمونیک با سرعت رشد لگاریتم طبیعی عدد n تقریبا برابر است. به عبارت دیگر حد نسبت این دو وقتی n به سمت بینهایت میل می کند برابر با یک است. پس مقدار در هر مرحله تقریبی از است که با افزایش هر چه بیشتر n این اختلاف این دو کمتر می شود و اعداد هارمونیک با افزایش n به مقدار لگاریتم طبیعی عدد n نزدیک می شوند.

برهان: با توجه به تعریف n امین عدد هارمونیک داریم:

حال وقتی n زیاد و زیادتر می شود و به بینهایت میل می کند داریم:

از طرفی با استفاده از تعریف مجموع ریمان و انتگرال معین داریم:

پس خواهیم داشت:

که با توجه به حاصل انتگرال فوق داریم:

پس وقتی n به بینهایت میل می کند مقدار عدد هارمونیک به نزدیک می شود(ولی با آن برابر نمی شود) و با آن همرفتار است.
در شکل زیر نمودار تغییرات عدد هارمونیک را با افزایش n مشاهدی می کنید:

سری هارمونیک عمومی

---

سری را سری هارمونیک عمومی(کلی) می گوییم. علت این است که در یک حالت خاص a=1,b=0 این سری به سری هارمونیک تبدیل می شود و لذا یک حالت کلی از سری هارمونیک است. تمامی سری ها به این شکل همانند سری هارمونیک واگرا هستند.
برهان: برای بررسی وضعیت همگرایی این سری از آزمون مقایسه حد استفاده می کنیم.
به این منظور از سری هارمونیک کمک می گیریم. میدانیم این سری واگرا است پس:

پس سری از نظر همگرایی با سری هارمونیک یکسان است پس این سری واگرا است.

بررسی سری هارمونیک

---

اگر در سری هارمونیک، کسرهایی را که مخرجشان غیر اول است برداریم سری حاصل می شود که همانند سری هارمونیک واگرا است.
واگرایی سری فوق نخستین بار توسط اویلر(Euler) به اثبات رسید.

• اثبات واگرایی سری فوق:

در رابطه با اثبات واگرایی سری هارمونیک تشکیل شده از اعداد اول روش های مختلفی وجود دارد، که در اینجا تنها به روشی که خود اویلر برای اثبات به کار برد اشاره می کنیم.(سایر راهها در صفحه ای جداگانه آورده شده است)
او ابتدا سری هارمونیک را در نظر گرفت:

همچنین او میان تابع زتای ریمان و اعداد اول p رابطه زیر را پیدا کرده بود که به نام فرمول ضرب اویلر شناخته می شود:

که مقصود از ضرب روی تمام اعداد اول است. از سوی دیگر:

پس او با توجه به مطالب فوق نتیجه گیری نمود:

او همچنین نتیجه گرفت که تعداد اعداد اول برای برقراری این تساوی باید نامتناهی باشد چرا که در صورت متناهی بودن اعداد اول p در سمت راست تساوی، حاصل ضرب در سمت راست همگرا به عددی خواهد بود و در نتیجه نشان دهنده همگرا بودن سری هارمونیک است که این یک تناقض ایجاد می کند. پس تعداد اعداد اول برای برقراری تساوی فوق نامتناهی است.
اویلر از این رابطه استفاده کرد تا به دنباله ای بیکران دست بافت.
او ابتدا از دو طرف لگاریتم گرفت(لگاریتم طبیعی) و سپس از بسط تیلر استفاده نمود:

برای یک مقدار ثابت C و کمتر از یک چون همان طور که قبلا اشاره شد سری هارمونیک با (ln(n همرفتار است(به عبارت دیگر وقتی n به بینهایت میل می کند نسبت آنها به یک میل می کند) , با توجه به نامساوی اویلر در نهایت نتیجه گرفت:

پس می توان نتیجه گرفت این سری واگرا است.
به این ترتیب اویلر نشان داد سری نامتناهی دنباله معکوس اعداد اول همانند سری هارمونیک با افزایش n، همرفتار با (ln(n است یا به عبارتی وقتی n به بینهایت میل می کند مقدار سری برابر با (ln(n است.

مطالبی شگفت انگیز از سری هارمونیک

---

با بررسی سری هارمونیک کتوجه می شویم این سری ویژگی های جالب و شگفت آوری دارد که در اینجه به برخی از آنها اشاره می کنیم:
مجموع جزیی این سری را برای چند مقدار n بدست آورید:

به این ترتیب مجموع بیست جمله اول سری هارمونیک تنها حدود است!
حال به نظر شما اگر بخواهیم مجموع این سری به عدد بیست برسد چند جمله این سری را باید با هم جمع کنیم؟
شاید باورتان نشود که اگر جمله اول این سری را با هم جمع کنیم یا به عبارتی را محاسبه کنیم حاصل حتی به عدد چهارده هم نمی رسد! در یک سایت برنامه ای ارائه شده است که بوسیله آن می توان مجموع جزیی سری هارمونیک را به ازائ هر n محاسبه کرد. با مراجعه به این سایت و محاسبه مقدار داریم:

محاسبات نشان میدهد مجموع جزیی این سری حتی بعد از جمله همچنان کمتر از بیست است!!!
حال خوتان را برای مطلبی شگفت آورتر اماده کنید. فکر می کنید چند جمله این سری را باید محاسبه کنیم تا حاصل مجموع جزیی سری از عدد 100 بیشتر شود؟
جالب است بدانید برای تحقق این امر باید یا بیش از پانزده میلیون تریلیون تریلیون تریلیون جمله این سری را با هم جمع کرد!!!
مقداد دقیق جملات مورد نیاز به این صورت است:

برای بررسی این مطلب به محاسبات زیر توجه کنید:

بنابراین:

مطلب جالب دیگر این است که با اندکی تغییر می توان این سری را به یک سری همگرا تبدیل کرد.
به عنوان مثال سری را در نظر بگیرید. جملات این سری خیلی یه جملات سری هارمونیک نزدیک هستند و اختلاف آنها بسیار ناچیز است. به عنوان مثال اختلاف جمله هزارم سری هارمونیک و سری برابر با است و این اختلاف در جملات بعدی کمتر می شود. بنابراین در یک نگاه سریع و عجولانه می توان گفت سری همانند سری هارمونیک واگرا است در حالی که می دانیم سری یک p-سری است با توان p>1 پس همگرا است!

مثال جالب دیگر این است که اگر از بین جملات سری هارمونیک جملاتی را که در مخرج آنها رقم یک وجود دارد حذف کنیم سری جدیدی به این صورت حاصل می شود:

حالا حدس شما چیست؟ فکر می کنید این سری همگرا است یا واگرا؟
جالب است بدانید در سال 1914، یکی از دانشجویان دانشگاه ایلینویز آمریکا ثابت کرد که این سری همگرا است و مقدار همگرایی آن کمتر از 90 است.
همچنین قبلا نشان دادیم اگر در سری هارمونیک جملاتی که مخرجشان غیر اول است حذف کنیم سری زیر حاصل می شود که واگرا است:

دو مطلب اخیر به خوبی این نکته را نشان می دهد که حذف تعداد نامتناهی جمله از میان جملات یک سری می تواند در همگرایی و واگرایی سری تاثیر بگذارد.

همچنین ببینید