| تبليغات | X |
 |
 |
|
|
آزمون مقایسه حد از دیگر آزمونها در زمینه تشخیص همگرایی سری ها آزمون مقایسه حد است. این آزمون بیان می کند: اگر  و  دو سری با جملات مثبت باشند اگر  موجود و مخالف صفر باشد آنگاه دو سری مورد نظر از نظر همگرایی مانند همدیگر هستند یعنی یا هر دو واگرا و یا هر دو همگرا هستند.
 را بررسی کنیم. می دانیم که سری  سری هارمونیک است و یک سری واگرا است. حال داریم:   پس دو سری فوق از نظر هگرایی همانند همدیگر هستند و چون سری واگرا است پس سری هم واگرا است. |
||
|
+
نوشته شده در شنبه پنجم اردیبهشت 1388ساعت 22:20 توسط ساماني
|
|
||
|
|
|
|
|
آزمون مقایسه
آزمون مقایسه از جمله آزمونهایی است که برای تعیین وضعیت همگرایی و واگرایی سریها با جملات حقیقی و مختلط استفاده می شود. اساس کار این آزمون بر پایه مقایسه جملات سری مورد بحث با جملات یک سری است که از وضعیت همگرایی آن اطلاع داریم. پس برای انجام این آزمون نیاز به در نظر گرفتن یک سری دیگر که از وضعیت همگرای آن اطلاع داریم، می باشد. این آزمون به دوصورت انجام می گیرد که به شرح آنها می پردازیم:
 یک سری همگرا باشد و عدد حقیقی C (غیر وابسته به n) چنان موجود باشد که  آنگاه سری هم همگرا است. همچنین اگر سری یک سری واگرا باشد و آنگاه سرییک سری واگرا است. به طور خلاصه می توان گفت اگر دو سری و را داشته باشیم که  آنگاه:
همگرا باشد و عددی حقیقی چون C غیر وابسته به n به گونه ای موجود باشد که آنگاه سری همگرا است. همچنین اگر سری واگرا باشد و  آنگاه سری نیز واگر است. به طور خلاصه اگر و دو سری باشند که آنگاه:
می خواهیم وضعیت همگرایی سری  را بررسی کنیم. می دانیم به ازای n>3 داریم:  پس در نتیجه داریم  و چون سری  همگرا است پس سری هم همگرا است. حال می خواهیم همگرایی سری  را بررسی کنیم. می دانیم که  پس از طرفی می دانیم سری سری هارمونیک است و واگرا است پس در نتیجه سری نیز واگرا است. |
||
|
+
نوشته شده در شنبه پنجم اردیبهشت 1388ساعت 22:19 توسط ساماني
|
|
||
|
|
|
|
|
آزمون انتگرال معرفیآزمون انتگرال از جمله آزمونهای همگرایی سری ها است که برای سریهایی با جملات نامنفی کاربرد دارد. این آزمون برای اولین بار در قرن چهاردهم توسط مدهاوا آزمون انتگرالاگریک سری نا متناهی باشد و تابع  تابعی نزولی و پیوسته در بازه  به گونه ای باشد که و آنگاه سری و انتگرال غیر عادی  , هر دو از نظر همگرایی مانند همدیگر هستند. همچنین بیانی ساده تر از این آزمون نیز به این صورت موجود است به این ترتیب که سری نامتناهی با جملات نا منفی همگرا است اگر و تنها اگر حاصل انتگرال غیر عادی متناهی باشد. که در آن f تابعی نزولی تعریف شده در بازه است که . حال اگر انتگرال واگرا باشد انگاه سری نیز واگرا است.
را با آزمون انتگرال بررسی کنیم. تابع  نزولی و پیوسته در بازه است و داریم:  همچنین این تابع تابعی است که برای هر n جملات سری هارمونیک را تولید می کند. پس می توان برطبق آزمون انتگرال سری هارمونیک و انتگرال غیر عادی از نظر همگرایی مانند همدیگر هستند که در آن  . حال داریم:   پس انتگرال غیر عادی فوق واگرا است لذا بر طبق آزمون انتگرال سری هارمونیک واگرا است. حال می خواهیم همگرایی سری  بررسی کنیم. تابع  را در نظر بگیرید. این تابع تابعی نزولی و پیوسته در بازه است. همچنین برای هر n طبیعی داریم:  پس این تابع برای مقادیر طبیعی جملات سری را تولید می کند و داریم: پس با بررسی شرایط آزمون انتگرال می توان گفت سری از نظر همگرایی با انتگرال غیر عادی وضعیت یکسانی دارند. که در آن t عددی در بازه است. حال داریم:   پس انتگرال غیر عادی  برابر یک مقدار عددی متناهی است و همگرا است لذا سری مورد نظر هم همانند این انتگرال همگرا است. البته لازم به توضیح است که سری یک p-سری است که در آن p=2 است پس بدون انجام آزمون می توان گفت این سری همگرا است. |
||
|
+
نوشته شده در شنبه پنجم اردیبهشت 1388ساعت 22:18 توسط ساماني
|
|
||
|
|
|
|
|
آزمون نسبت دالامبر
آزمون نسبت معیاری است برای تعیین وضعیت همگرایی یا واگرایی سریهایی با جملات حقیقی یا مختلط. این آزمون نخستین بار توسط دالامبر این آزمون بیان می کند: اگر یک سری باشد و داشته باشیم: آنگاه:
 بنابراین چون L<1 است پس سری فوق همگرا است.
 بنابراین چون L>1 است پس سری فوق واگرا است.
 بنابراین چون L=1 است پس آزمون دالامبر بی نتیجه است و برای تعیین همگرایی باید از سایر آزمونها استفاده شود.
همانطور که در توضیح آزمون نسبت دالامبر گفته شد اگر در سری داشته باشیم آنگاه آزمون بی نتیجه خواهد بود. در این صورت یکی از راههای بررسی همگرایی سری استفاده از آزمون راب است. این آزمون توسط ریاضی دانی به نام رابروش او چنین بود: اگر در سری داشته باشیم  آنگاه در صورتی که عدد مثبتی چون C موجود باشد که:  آنگاه این سری همگرا خواهد بود. |
||
|
+
نوشته شده در شنبه پنجم اردیبهشت 1388ساعت 22:17 توسط ساماني
|
|
||
|
|
|
|||
|
سری در ریاضی سری عبارت است از مجموع جملات یک دنباله.به عبارت دیگر سری شماری از اعداد است که بین آنها عملگر جمع قرار گرفته است.
سریها بر دو نوعند:سریهای متناهی و نامتناهی؛که سریهای متناهی را می توان با اعمال ساده جبری محاسبه کرد،ولی برای محاسبه سریهای نامتناهی باید از آنالیز کمک گرفت. به عنوان مثال سری زیر یک سری متناهی است.  سری نامتناهی، سری میباشد که جملات آن محدود نیست. به این سری توجه نمایید:  این سری یک سری عددی نامتناهی میباشد.که در حالت کلی به صورت زیر نشان داده میشود.که به آن سری هندسی میگویند.  a را جمله اول و k را قدر نسبت سری می نامند.اگر 1>k باشد این سری همگرا خواهد بود. در صورتی که  به سمت یک عدد متناهی سیر کند آن را همگرا مینامند. در غیر این صورت به آن یک سری واگرا گویند. سزی توانیحال به معرفی نوع دیگری از سریها به نام سریهای توانی می پردازیم:سریهایی را که جملات آن توابعی از متغیر x باشند را سریهای توانی گویند.و مجموعه مقادیر از x که به ازای آنها توابع موجود در سری تعریف شده و سری همگرا باشد را میدان همگرایی سری گویند.هر سری تابعی به شکل  را یک سری توانی بر حسب  میگویند.واضح است که جملات آن به فرم زیردر میآید:
|
||||
|
+
نوشته شده در شنبه پنجم اردیبهشت 1388ساعت 22:15 توسط ساماني
|
|
||||
|
|
|
|
مفهوم شهودی حد دنبالهدنباله  را درنظر بگیرید. چند جمله اول این دنباله به این صورت است:  ملاحضه میکنید جملات این دنباله رفته رفته به عدد یک نزدیک میشوند. کار را ادامه بدهید و جملات را افزایش بدهید:       خوب تا اینجا به صورت شهودی، متوجه میشویم که هر چه بیشتر جلو میرویم و تعداد جملات (n) را افزایش میدهیم مقدار دنباله به عدد 1 نزدیک و نزدیکتر میشود (لااقل تا الان که اینطور بوده است!). حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا میتوانیم حکمی کلی صادر کنیم و بگویم به طور کلی هرچه تعداد جملات را افزایش بدهیم جملات دنباله به عدد 1 نزدیک و نزدیکتر میشوند یا به عبارت دیگر میتوان جملات دنباله را به هر مقدار دلخواه به عدد 1 نزدیک کرد به شرط اینکه مقدار n به قدر کافی بزرگ باشد؟ مثلا اگر ما n را برابر 1000000 قرار دهیم مقدار دنباله  بدست میآید و اگر n را 1000000000000 انتخاب کنیم مقدار دنباله برابر خواهد بود با عدد  که مقداری بسیار نزدیک به 1 است. آیا میتوان با اطمینان گفت با انتخاب n مناسب میتوان بیشتر و بیشتر به 1 نزدیک شد و تقریبهای نزدیکتر به عدد 1 بدست آورد؟ خوب پس در اینجا با یک حدس روبرو هستیم که باید آن را ثابت یا رد کنیم، و آن این است که دنباله  را به هر میزان میتوان به 1 نزدیک کرد به شرط اینکه n به قدر کافی بزرگ انتخاب شده باشد. بیاید با هم سعی در اثبات این حدس کنیم. اولین قدم برای اثبات این است که سعی کنیم مسئله را به زبان ریاضی (صوری) بنویسیم که بتوانیم آن را از نظر ریاضی بهتر بررسی کنیم. در واقع بیان ریاضی حدس ما این است که اگر ما هر همسایگی دلخواه از عدد 1 را در نظر بگیریم مانند  (که اپسیلون عددی حقیقی مثبت و لخواه است)، بالاخره بهازای یک N ای جملات دنباله از این به بعد (از این N به بعد) در این همسایگی قرار میگیرند یعنی بالاخره برای هر  یک N ای از اعداد طبیعی وجود دارد که برای n>N داریم:
 به عنوان مثال اگر همسایگی  را انتخاب کنیم (یعنی اپسیلون را 0.01 بگیریم) برای n>1000 خواهیم داشت:  یعنی از جمله 1000ام به بعد همه جملات دنباله در این همسایگی قرار میگیرند. زیرا ، n>1000 و لذا داریم  و در نتیجه:  پس در اینجا N مورد نظر N=1000 است که از این جمله به بعد جملات دنباله در همسایگی مورد نظر قرار میگیرند. پس حالا متوجه شدیم که برای اثبات حکم باید چکار کنیم. هدف ما این است که تحقیق کنیم آیا این N همواره برای هر همسایگی دلخواه (یا به عبارتی برای هر اپسیلون) وجود دارد یا نه؟ لذا با یک قضیه وجودی روبرو هستیم یعنی برای اثبات این قضیه کافی است برای هر همسایگی دلخواه از 1 مانند (که اپسیلون عددی حقیقی و مثبت است) یک N از اعداد طبیعی را معرفی کنیم که برای n>N داشته باشیم: پس فرض میکنیم عددی حقیقی مثبت دلخواهی باشد (با این فرض در حقیقت یک همسایگی دلخواه از 1 را انتخاب کردیم)، سعی میکنیم برای این اپسیلون یک N ای از اعداد طبیعی پیدا کنیم که n>N نامساوی را ایجاب کند. خوب از اینجا به بعد باید به دنبال یک N بگردیم و یافتن N به ابتکار شما و مهارتهای ریاضی شما بستگی دارد. ببینیم میتوانیم با ایجاد تغییراتی در حکم، ایدهای برای معرفی N مناسب بگیریم یا نه؟ ما میخواهیم N مناسب طوری باشد که n>N ایجاب کند ازاینجا داریم:    خوب با توجه به اینکه روابط فوق برگشت پذیر است متوجه میشویم که با استفاده هر عدد طبیعی بزرگتر از  میتوان نامساوی را نتیجه گرفت، یعنی  ایجاب میکند پس اگر ما یکی از اعداد طبیعی بزرگتر از را به عنوان N مناسب معرفی کنیم حکم ثابت میشود. اما چه N ای؟ بیاید قرار دهیم  که نماد  نماد جزء صحیح است. بوضوح N ای که معرفی کردیم عدی طبیعی است و همچنین بنابر خواص جز صحیح عددی بزرگتر از است. پس یک N را پیدا کردیم و ادعا میکنیم این N همان N مناسبی است که n>N نامساوی  را ایجاب میکند زیرا:    پس چون اپسیلون دلخواه بود N معرفی شده برای هر اپسیلون مناسب است. یعنی برای هر همسایگی دلخواهی از 1 که انتخاب کنیم مانند کافی است N را برابر  بگیریم که در این صورت جملات دنباله از این N به بعد همگی در همسایگی مورد نظر ما قرار میگیرند. و به این ترتیب درستی حدس ما معلوم میشود. در دنباله میتوانیم جملات دنباله را به اندازه دلخواه به 1 نزدیک کنیم به شرط اینکه n را به اندازه کافی بزرگ اختیار کنیم. به بیان دیگر با افزایش n جملات دنباله به 1 نزدیک و نزدیکتر میشوند.
تعریف حد یک دنبالهدنباله را دارای حد یا همگرا میگوییم هرگاه عددی حقیقی چون L موجود باشد به طوری که برای هر عدد حقیقی مثبت چون  ، عددی طبیعی چون  موجود باشد که برای هر n>N داشته باشیم:  به عبارت دیگر میگوییم دنباله دارای حد L است یا به L همگرا است هرگاه:  در این حالت میگوییم دنباله به L همگرا است و مینویسیم وقتی  آنگاه  یا  . به بیان سادهتر و کمی دورتر از عبارات صوری ریاضی، L حد دنباله است اگر برای هر همسایگی دلخواه از L، جملات دنباله از شمارهای به بعد (از یک N ای به بعد) در این همسایگی دلخواه قرار بگیرند یا اینکه جملات دنباله را بتوان به قدر کافی به L نزدیک کرد به شرط اینکه n به قدر کافی بزرگ باشد. همچنین میگوییم دنباله حد نامتناهی یا بینهایت دارد هرگاه:  به عبارت دیگر دنباله حد نامتناهی یا بینهایت دارد هرگاه از یک شمارهای چون N به بعد جملات دنباله از هرعدد حقیقی مثبت بزرگتر یا از هر عدد حقیقی منفی کوچکتر بشوند یعنی به طور بی کران بزرگ یا کوچک شوند. در این حالت مینویسیم: 
 ابتدا حکم را مشخص میکنیم. میخواهیم نشان دهیم:  کافی است m مناسب را برای هر معرفی کنیم. بیاید مانند مثالی که قبلا بررسی کردیم سعی کنیم از حکم m مناسب را استخراج کنیم. با فرض دلخواه و از این پس ثابت، m مطلوب ما m ای است که برای هر n>m داشته باشیم  از اینجا داریم:    اما نامساوی فوق برای هر برقرار نمیباشد (به عنوان مثال برای اپسیلون برابر با 3) پس m ای که ما از این طریق بدست میآوریم برای ما مناسب نمیباشد پس با کمی در روش خود تجدید نظر کنیم. برای این کار سعی میکنیم به نوعی نامساوی را تغییر دهیم. داریم:  حال اگر m مناسب را از نامساوی جدید پیدا کنیم قطعاً برای نامساوی اصلی نیز مناسب خواهد بود (در واقع دلیل این مسئله این است که چیزی که برای ما مهم است نتیجه حاصل از برگشت این روابط است). با استفاده از نامساوی جدید داریم:  حال کافی است m را عددی طبیعی بزرگتر از  اختیار کنیم مثلاً  حال ادعا میکنیم این همان m ای است که برای هر n>m داریم:  زیرا:     حال در قسمت بعدی به بررسی قضایای حد دنبالههای و نحوی محاسبه حدود دنبالهها میپردازیم.
قضایای حد دنبالهها
فرض میکنیم دنباله به  و  همگرا باشد(فرض خلف). چون داریم:  از طرفی چون  داریم:  حال قرار میدهیم  ، در این صورت برای هر n>m داریم  و  که این دو باهم ایجاب میکنند:  حال قرار میدهیم  که در این صورت خواهیم داشت:
 که این تناقض است. پس فرض خلف باطل و حکم برقرار است.
همگرا به L باشد. نشان میدهیم عددی چون k وجود دارد که برای هر عدد طبیعی n داریم:  بنا به فرض چون به L همگرا است لذا داریم:  همچنین بنا به خواص قدر مطلق داریم:  اما این نامساوی برای n>m درست خواهد بود و سایر جملات یعنی  ممکن است در این نامساوی صدق نکنند پس قرار میدهیم:  در این صورت برای هر n طبیعی داریم که این نشان میدهد k یک کران برای دنباله مورد نظر است و حم ثابت میشود.
فرض میکنیم دنبالهای همگرا به L، باجملات نامنفی باشد یعنی برای هر n طبیعی داشته باشیم  ، نشان میدهیم . فرض میکنیم (فرض خلف). در این صورت چون دنباله به L همگرا است بنا به تعریف داریم:  قرار میدهیم  خواهیم داشت:  ک این با فرض نامنفی بودن جملات دنباله در تناقض است، پس فرض خلف باطل و حکم برقرار است. حکم دوم نیز به طریق مشابه اثبات میشود.
ابتدا فرض میکنیم L>0، در این صورت چون دنباله به L همگرا است داریم: فرض میکنیم  در این صورت برای هر n>m داریم:  پس از یک شمارهای به بعد (از یک m ای به بعد) داریم  و لذا در این حالت حکم برقرار است. حالت L<0 نیز به طریق مشابه اثبات میشود.
 و  همگرا میباشند آنگاه:      برهان: به عنوان نمونه مورد اول را ثابت میکنیم. چون به l همگرا است داریم:  و چون  به همگرا است داریم:  با فرض ، برای هر n>m داریم  و  که با جمع طرفین نامساوی داریم:  پس این نشان میدهد که:  و برهان حکم کامل است.
فرض میکنیم  در این صورت چون برای هر n طبیعی داریم  لذا  پس بنا به قضیه 3، حد  نامنفی است پس داریم: 
اثبات به برهان خلف است. فرض میکنیم  همگرا باشد، در این صورت بنا به قضیه قبل چون تفاضل دو دنباله همگرا، همگرا است پس  نیز همگرا است که این تناقض است. پس فرض خلف باشد و واگرا است. به طریق مشابه ثابت میشود  نیز واگرا است قضیه ساندویچ یا فشردگیاگر و و  سه دنباله باشند به طوری که برای هر n طبیعی، داشته باشیم  و نیز  آنگاه:
 برهان: برطبق فرض چون  داریم:  همچنین چون  داریم:  حال با فرض برای هر n>m داریم:   و چون بنا به فرض پس:  و لذا  که این نشان میدهد:
 برهان: برطبق فرض چون کراندار است پس عددی چون k وجود دارد که برای هر n طبیعی داشته باشیم پس:  اما از طرفی  پس بنا بر قضیه ساندویچ داریم:  قضیه بولتسانو-وایراشتراسهر دنباله یکنوا و کراندار همگرا است. به عبارت دقیقتر هر دنباله صعودی و کراندار به سوپریمم خود (sup) و هر دنباله نزولی کراندار به اینفیمم خود (inf) همگرا است. برهان: ابتدا فرض میکنیم دنبالهای صعودی و کراندار باشد و E مجموعه همه جملات دنباله باشد، چون  زیرمجموعهای ناتهی از اعداد حقیقی و کراندار است بنابر تمامیت اعداد حقیقی دارای کوچکترین کران بالا یا سوپریمم است. قرار میدهیم:  به عبارت دیگر فرض میکنیم c کوچکترین کران بالای دنباله باشد. حال نشان میدهیم به c همگرا است. چون c سوپریمم است به ازائ هر ε>0 مفروض،  به ازای عدد طبیعی N وجود دارد که  . پس برای هرε>0 دلخواه بازه  شامل جملهای از چون است. اما چون دنباله صعودی است برای هر n>N داریم:  و این نشان میدهد: . به همین صورت ثابت میشود اگر نزولی و کراندار باشد به اینفیمم همگرا است و برهان کامل میشود.
|
||
|
+
نوشته شده در شنبه پنجم اردیبهشت 1388ساعت 22:13 توسط ساماني
|
|
||
|
|
|
|
تصاعد هندسیبه دنبالهای که رابطه بازگشتی آن باشد یک دنباله هندسی یا تصاعد هندسی گفته میشود.  را قدرنسبت تصاعد هندسی مینامیم. اگر  و باشد، دنباله اکیداً صعودی خواهد بود و اگر و دنباله اکیداً نزولی خواهد بود. رابطه صریح دنباله هم به صورت  میباشد که واضح نیز به نظر میرسد. مسألهای که در تصاعد هندسی قابل تأمل میباشد مجموع جملات آن است. اگر  را مجموع جملات  تا  تعریف کنیم:  آنگاه دنبالهای با رابطه بازگشتی زیر خواهد بود:  اما مقدار صریح نیز به سادگی قابل محاسبه میباشد که داریم:  مثالاگرمجموع جملات دنباله هندسی با عنصر اول و قدرنسبت و  مجموع جملات دنباله هندسی دیگری با همان عنصر اول ولی قدرنسبت  باشد. رابطه و را بدست آورید؟ حل .   |
||
|
+
نوشته شده در شنبه پنجم اردیبهشت 1388ساعت 22:12 توسط ساماني
|
|
||
|
|
|
|
|
!مقدمه همانطور که میدانیم اصطلاح "سری" را برای کمیتهایی که با ضابطه معینی مرتب شدهاند بکار میبریم. هر یک از این کمیتها را یک جمله سری و جمله nام را که برحسب n نوشته میشود جمله عمومی مینامیم. تعریفاگر جمله عمومی یک سری بصورت باشد که در آن d , a عددهای ثابت و مستقل از n هستند، سری را تصاعد حسابی مینامیم. از تعریف بدست میآید:  پس تفاضل هر دو جمله متوالی تصاعد حسابی مقدار ثابت d است. به همین سبب d را تفاضل مشترک تصاعد حسابی مینامند. همچنین به ازای n=1 ،  . پس ، a جمله اول تصاعد حسابی است. بنابراین جملههای دیگر تصاعد حسابی با افزودن مقدار ثابت d به جمله پیش از آن بدست میآید. مجموع n جمله اول تصاعد حسابیفرض میکنیم که جمله rام تصاعد حسابی باشد، یعنی  . می خواهیم  را که با نشان داده میشود، حساب کنیم. اکنون ، سری دیگری میسازیم که در آن n جمله اول تصاعد حسابی با ترتیب عکس قرار گرفته باشند سری جدید بصورت زیر است:  مجموع این سری همان مجموع n جمله اول تصاعد حسابی است. پس ،  معمولا جمله nام ، یعنی  را با l نشان میدهیم. پس  ویژگیها
و جمله nام سری حاصل از اضافه کردن b به هر جمله را با  و جمله nام سری حاصل از ضرب هر جمله در k را با  نشان میدهیم. بنابراین با تشکیل  داریم: سری یک تصاعدحسابی با جمله اول a+b و تفاضل مشترک d است همچنین یک تصاعد حسابی با جمله اول  و تفاضل مشترک  است.
مقدارهای منفی nممکن است جملههای یک تصاعد حسابی از سوی دیگر نیز ادامه داشته باشد و جملههای قبل از a قرار گیرند یعنی تصاعد حسابی بصورت زیر است: جملههای سمت چپ a با قرار دادن مقدارهای 0 و 1- و 2- و ... بجای n در بدست آمدهاند برای بدست آوردن عده جملههایی که مجموع آنها برابر مقدار معلوم S است باید معادله  را حل کنیم. این معادله برحسب n از درجه دوم است و ممکن است یک یا هر دو ریشه آن منفی باشد. اگر  مقداری منفی از کمیت n باشد که در این معادله صدق کند داریم:  یعنی اگر از حل معادله مقداری صحیح ولی منفی برای n بدست آوریم و جمله قبل از a را ، که با a-d شروع میشوند در نظر گیریم مجموع -S را بدست میآوریم. واسطه حسابیتعریفواسطه حسابی n کمیت برابر است با مجموع همه آنها بخشبر n. بنابراین اگر کمیتهای مورد نظر باشند واسطه حسابی آنها برابر است با  . واسطه حسابی دو کمیت b , a که آنها را c مینامیم،  است. بنابراین ، a و c و b یک تصاعد حسابی تشکیل میدهند زیرا اگر  داریم: همیشه میتوانیم بین هر دو کمیت b , a هر عده کمیت دیگر بگنجانیم بطوری که سری بدست آمده تصاعد حسابی باشد. جملههایی را که به این ترتیب بین b , a گنجانده میشوند واسطههای حسابی مینامیم. اگر n جمله بین b , a بگنجانیم یک سری با n+2 جمله بدست میآید که جمله اول آن a و جمله آخرش b است. بنابراین  . یعنی  در نتیجه تصاعدهای حسابی بدست آمده چنین است: |
||
|
+
نوشته شده در شنبه پنجم اردیبهشت 1388ساعت 22:11 توسط ساماني
|
|
||
|
|
|
|
مفهوم دنبالهمجموعه اعداد زوج طبیعی را در نظر بگیرید اولین عضو این مجموعه عدد 2 است و n امین عضو آن 2n است. حال مجموعه اعداد طبیعی را در نظر بگیرید:  با کمی دقت متوجه میشویم که میتوان یک تابع یک به یک از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج تعریف نمود که در عضو از مجموعه اعداد طبیعی را به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر کند.(مانند شکل)  اگر این تناظر را به صورت مجموعه زوج های مرتب بنویسیم خواهیم داشت:  متوجه میشویم تابع f از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج، تابعی است یک به یک که هر عضو از دامنه خود را دو برابر میکند و به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر میکند و میتوان چنین ضابطهای برای آن تعیین نمود:  حال در مثالی دیگر تابع  را در نظر بگیرید. بیاید بجای اینکه به جای متغیر تابع عددی حقیقی قرار دهیم، متغیرهای طبیعی را جایگزین کنیم. در این صورت داریم:  مشاهده میکنید این تابع نیز هر عدد طبیعی را به عنوان ورودی دریافت میکند و آن را به یک عدد دیگر نسبت میدهد با این تفاوت که این تابع دیگر یک به یک نمیباشد و فقط بین اعداد طبیعی و مجموعه اعداد حقیقی یک تناظر بوجود میآورد. نمونه های دیگری نیز از این توابع وجود دارد مثلاً توابع  ،  ، که در آنها n عددی طبیعی است. به چنین توابعی که از از مجموعه اعداد طبیعی به یک مجموعه دیگر تعریف میشوند دنباله میگوییم. در دنباله اعداد طبیعی زوج، عدد 2 از برد تابع را جمله اول، عدد 4 را جمله دوم و به همین ترتیب عدد 2n را جمله n ام دنباله میگوییم. همین شیوه برای سایر دنبالهها نیز اعمال میشود. در یک دنباله، اعداد طبیعی در دامنه به گونهای به اعضای برد متناظر میشوند که عدد طبیعی متناظر شده بیانگر شماره آن جمله در برد باشد به عنوان مثال در دنباله اعداد طبیعی زوج، عدد 1 در دامنه به عدد 2 در برد که اولین جمله دنباله است متناظر میشود و عدد 10 از دامنه به عدد 20 از برد که جمله دهم است متناظر میشود و به همین ترتیب عدد n در دامنه به عدد 2n از برد که جمله n ام است متناظر می شود. تعریف دنبالهدنباله (sequence) تابعی است که دامنه آن مجموعه اعداد طبیعی یا قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی باشد. پس در حالت کلی یک دنباله چون f تابعی است از مجموعه اعداد طبیعی به یک مجموعه دیگر چون A.  اگر دامنه دنباله قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی باشد دنباله را متناهی میگوییم و اگر دامنه دنباله خود مجموعه اعداد طبیعی باشد دنباله را نامتناهی میگوییم. به عنوان مثال دنباله اعداد طبیعی زوج کوچکتر از 10 یک دنباله متناهی است چرا که دامنه آن قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی یعنی  است و دنباله اعداد زوج دنبالهای نامتناهی است چرا که دامنه آن خود مجموعه اعداد طبیعی است. برای مشخص کردن یک دنباله مانند هر تابع دیگر باشد دامنه و ضابطه آن را مشخص کرد. ضابطه یک دنباله را در اصطلاح جمله عمومی آن دنباله میگوییم. اگر f یک دنباله باشد جمله عمومی آن را با (f(n و یا به صورتی معمولتر به صورت  نشان میدهیم. پس برای نمایش مقدار دنباله f به ازای عدد طبیعی n بجای نماد (f(n معمولا از نماد استفاده میکنیم. به عنوان مثال در دنباله اعداد طبیعی زوج داریم:  برای نمایش خود دنباله از نماد  استفاده میکنیم. پس دنباله اعداد طبیعی زوج را به این صورت نشان می دهیم:  دنباله حقیقیدنباله را دنباله حقیقی میگویند هرگاه تابعی از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد حقیقی باشد به عبارت دیگر تابع را یک دنباله حقیقی میگویند. به عنوان مثال دنباله  دنبالهای حقیقی است چرا که برد آن از مجموعه اعداد حقیقی است.
نمودار یک دنبالهاز آنجا که دنباله یک تابع با دامنه عداد طبیعی است میتوان دنباله را بوسیله نمودار نیز نمایش داد. این نمایش با دو روش انجام میشود. در یک روش میتوان مانند توابع دیگر آن را در دستگاه مختصات دکارتی رسم کرد و در روشی دیگر میتوان جملات آن را به همراه ذکر شماره آن جمله روی محور اعداد نشان داد. با ذکر یک مثال دو روش را توضیح میدهیم. به عنوان مثال میخواهیم دنباله اعداد زوج را به هر دو روش نشان دهیم:
 جمله عمومی یک دنبالههمانطور که گفته شد یک دنباله تابعی با دامنه مجموعه اعداد طبیعی است پس برای دنباله ها در حالت کلی میتوان ضابطه تعیین کرد که به ضابطه یک دنباله جمله عمومی آن دنباله میگویند. جمله عمومی یک دنباله به منزله یک قانون است که بوسیله آن هر عضو از دامنه(مجموعه اعداد طبیعی) به یک عضو از مجموعه برد متناظر میشود و به ازای هر مقدار از متغیر n، جملات دنباله را تولید میکند. به عنوان مثال جمله عمومی دنباله اعداد طبیعی زوج به صورت  است که همانند ضابطه تابع بوسیله آن میتوان با قرار دادن هر n طبیعی جمله n ام  را بدست آورد. البته لازم به ذکر است همه دنبالهها دارای جمله عمومی نمیباشند. به عنوان مثال تا کنون جمله عمومی برای دنباله اعداد اول تعیین نشده است. همچنین ممکن است یک سری از اعداد را به عنوان جملات دنباله انتخاب نمود که نتوان میان آنها رابطه ای برقرار نمود و جمله عمومی برای آنها نوشت. حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا با در اختیار داشتن جملات یک دنباله می توان جمله عمومی آن را تعیین کرد؟ پاسخ را با یک مثال بررسی میکنیم. دنباله زیر را در نظر بگیرید:  میخواهیم جمله عمومی این دنباله را با توجه به جملاتش تعیین کنیم. با مشاهدهی جملات ممکن است حدس شما این باشد که این دنباله، دنباله اعداد طبیعی فرد بزرگتر از یک است و جمله عمومی آن را میتوان به این صورت نوشت:  اما این ممکن است یک جمله عمومی برای این دنباله باشد. ممکن است جملات دنباله در ادامه به این روال پیش نروند و جمله چهارم این دنباله عددی چون 9 نباشد! چرا که ما از جمله سوم به بعد دنباله هیچ اطلاعی نداریم و هر عدد دیگری نیز میتواند باشد! به عنوان مثال جمله عمومی دنباله فوق را میتوان به این صورت نوشت:  با نوشتن جملات این دنباله داریم:  مشاهده میکنید جملات این دنباله تا جمله سوم همانند دنباله  است ولی از جمله سوم به بعد مانند آن دنباله عمل نمی کند. پس همواره از روی جملات یک دنباله نمیتوان جمله عمومی آن را به درستی تعیین کرد. اما معمولاً برای نوشتن جمله عمومی یک دنباله با توجه به جملات آن، ساده ترین حالت را در نظر میگیریم. لذا جمله عمومی برای این دنباله صحیحتر است و زودتر به ذهن خطور میکند. رابطه بازگشتی و دنباله بازگشتیبه دنباله اعداد زوج دقت کنید: ...,2,4,6,8,10,12 با کمی دقت در مییابید که برای بدست آوردن هر جمله کافی است جمله قبل را با عدد دو جمع کنید. به عنوان مثال برای بدست آوردن جمله پنجم(10) کافی است جمله چهارم(8) را با عدد دو جمع کنید. به این رابطه که بین جملات این دنباله برقرار است رابطه بازگشتی می گوییم.
به عنوان مثال دنباله فیبوناتچی دارای چنین رابطهای است که بوسیله آن مشخص میشود:  که جملات آن به این صورت است: ...,1,1,2,3,5,8,13,21 مشاهده میشود برای بدست آوردن هر جمله از جمله دوم به بعد کافی است دو جمله ماقبل آن جمله را با هم جمع کنیم. مثلا برای محاسبه جمله نهم داریم:  از آنجا که دنباله نیز تابع میباشد میتوان حد آن را نیز بررسی کرد که برای اطلاع از نحوه تعریف حد دنبالهها و محاسبه آنها میتوانید به مقاله حد دنباله رجوع کنید. |
||
|
+
نوشته شده در شنبه پنجم اردیبهشت 1388ساعت 22:10 توسط ساماني
|
|
||
|
|
|
|
|
تابع دیریکله(Dirichlet Function)
اگر c و d دو عدد حقیقی متمایز باشند آنگاه تابع دیریکله را چنین تعریف می کنند:  این تابع چندضابطهای را با نماد (D(x نشان می دهند و معمول ترین و صورت آن حالتی است که C=1 و d=0 باشد که در این صورت تابع دیریکله به این صورت تعریف می شود:  تعریف فوق از تابع دیریکله را همچنین میتوان با استفاده از آنالیز ریاضی به این صورت نشان داد:  به عنوان مثال: اگر x=2 باشد آنگاه:  و اگر به جای x عدد پی که گنگ است را قرار دهیم:  اما چون  لذا تابع دیریکله را میتوان به عنوان تابع مشخصه اعداد گویا در مجموعه اعداد حقیقی در نظر گرفت.
از جمله ویژگی های مهم تابع دیریکله این است که در هیچ نقطه و بازه ای دارای حد نمیباشد، پیوسته و انتگرال پذیر هم نمیباشد.. به این ترتیب نموداری از آن نمیتوان رسم کرد. |
||
|
+
نوشته شده در پنجشنبه پانزدهم اسفند 1387ساعت 17:57 توسط ساماني
|
|
||
|
|
|
|
|
تابع  با ضابطه زیر را تابع علامت می گوییم:
لازم به ذکر است که این تابع را با نماد  نشان می دهند که نماد آن از واژه انگلیسی sign اقتباس شده است که ریشه اصلی آن، از واژه یونانی signum به معنای علامت است.
ادامه مطلب |
||
|
+
نوشته شده در پنجشنبه پانزدهم اسفند 1387ساعت 17:55 توسط ساماني
|
|
||
|
|
|
|
|
تابع 
را تابع ثابت می گوییم هر گاه برد آن یک مجموعه تک عضوی باشد. به عبارت
دیگر تابع ثابت هر عضو از دامنه خود را تنها به یک مقدار ثابت متناظر می
کند.
پس ضابطه تابع ثابت f از مجموعه A در مجموعه B را می توان به این صورت نوشت  که در آن c مقداری ثابت و همان برد تابع f است.
به عنوان مثال تابع  یک تابع ثابت است که هر عضو از دامنه خود(مجموعه اعداد حقیقی) را به عدد ثابت 2 متناظر می کند و عدد دو همان برد تابع است.
ادامه مطلب |
||
|
+
نوشته شده در پنجشنبه پانزدهم اسفند 1387ساعت 17:52 توسط ساماني
|
|
||
|
|
|
|
|
می دانیم یک رابطه همانی روی مجموعه A رابطه ای است که برای هر عضو از مجموعه A چون a تنها شامل زوج مرتب به ادامه مطلب مراجعه کنید... باشد و هیچ زوج مرتبی با مولفه های متمایز نداشته باشد. این رابطه را به این صورت تعریف می کنیم:
 این رابطه روی مجموعه A یک تابع است که به آن تابع همانی می گوییم. این تابع هر عضو از دامنه خود را به خودش متناظر می کند. اگر f تابعی همانی از مجموعه A در A باشد، آن را به این صورت تعریف می کنیم:  پس ضابطه تابع همانی  به این صورت است:
 ادامه مطلب |
||
|
+
نوشته شده در پنجشنبه پانزدهم اسفند 1387ساعت 17:50 توسط ساماني
|
|
||
|
|
|
|
|
توابعی را که در طول زمان تکرار میشوند، توابع متناوب
میگویند. این منحنی ها به صورت موج سینوسی یا کسینوسی هستند یعنی
میتوانند در فواصل زمانی معین تکرار گردند. به صورت نادقیق تابعی از
اعداد حقیقی متناوب نامیده میشود، هرگاه مقادیر آن در فواصل معین تکرار
شوند. تابع  متناوب است اگر عددی حقیقی و غیر صفر مانند m باشد بطوری که:
 یک دوره ی تناوب تابع متناوب  نامیده می شود.
با توجه به رابطه 1 در تعریف فوق ، به سادگی دیده میشود که دامنه تعریف هر تابع متناوب باید بیکران باشد. به عبارت دیگر همه توابعی که دارای دامنه محدود هستند نامتناوب میباشند. به ادامه مطلب مراجعه کنید...ادامه مطلب |
||
|
+
نوشته شده در پنجشنبه پانزدهم اسفند 1387ساعت 17:48 توسط ساماني
|
|
||
|
|
|
|
|
فرض کنید f تابعی با دامنه  با شد و برای هر  آنگاه  باشد(در اصطلاح دامنه تابع f متقارن باشد). در این صورت:
ادامه مطلب |
||
|
+
نوشته شده در شنبه دهم اسفند 1387ساعت 17:46 توسط ساماني
|
|
||
|
|
|
|
دید کلی:تابع f:x→y را در نظر می گیریم. منظور از تابع f، تصویر قلمرو آن است. یعنی مجموعه f(x)={f(x)│معمولا تصویر تابع f:x→y را با نماد Im(f) نشان می دهند: بنابراین داریم: Im(f)=f(x) به عنوان مثال، اگر تابع f، تصویر جانور x به وسیله نور آفتاب بر روی دیوار y باشد، آنگاه تصویر تابع f یعنی Im(f) برابر سایه جانور بر روی دیوار خواهد بود. در حالت کلی، در مورد تابع دلخواه f(x), f:x→y معمولا با y براتبر نیست. مثلا درمثال تصویر جانور x به وسیله نور آفتاب بر روی دیوار y، سایه جانور یعنی f(x) معمولا نباید تمام دیوار را بپوشاند. البته امکان دارد که برای تابعی داشته باشیم. در این حالت f را تابعی از مجموعه x به روی مجموعه y یا به طور خلاصه f را پوشا می نامیم. ادامه مطلب |
||
|
+
نوشته شده در شنبه دهم اسفند 1387ساعت 17:45 توسط ساماني
|
|
||
|
|
|
|
دید کلیبرای توابع نیز مانند مجموعهها ، یا خود تناظرها میتوان عملیات جبری را تعریف نمود که باید تابع مورد نظر ، تابع حقیقی باشد. منظور از یک تابع با مقدار حقیقی روی مجموعه X، یا به طور خلاصه ، یک تابع حقیقی روی مجموعه X تابعی است مانند f: X→R از مجموعه X به مجموعه اعداد حقیقی، تابع مختلط نیز به طریق مشابهی تعریف میشود.مجموعه دلخواه X را در نظر میگیریم؛ فرض میکنیم 
مجموعه کلیه توابع حقیقی روی مجموعه X باشد. برای این توابع حقیقی ، اعمال
جمع و ضرب را نظیر اعمال جمع و ضرب در اعداد حقیقی میتوان تعریف نمود.
ادامه مطلب |
||
|
+
نوشته شده در شنبه دهم اسفند 1387ساعت 17:43 توسط ساماني
|
|
||
|
|
|
|
|
این معما که می خوام بگم یک معمای معروف ریاضی می باشد. 2 نفر داریم ,که اولی (آرش) 5 (پنج) عدد نان و دومی (بردیا) 3 (سه) عدد نان دارند. آنها می خواستند نان خود را بخورند که فرد سومی (شاهین) سر می رسد و با اعلام این موضوع که گرسنه است از آنها تقاضای نان می کند. آرش و بردیا با یکدیگر مشورت می کنند و تصمیم می گیرند که هر 3 نفر سر یک سفره بشینند و با هم به طور مساوی 8 نان موجود را بخورند. (8 = 3 + 5 ) بد از اتمام شاهین به آنها به عنوان پاداش 8 تومان می دهد و می رود.(پی کار خودش!!) حال آرش و بردیا مانده اند و 8 تومان پول. آنها می خواهند این 8 تومان را پیش خود تقصیم کنند. در ابتدا بردیا می گوید 4 تومان من بر می دارم و تو هم 4 تومان (نصف , نصف), اما آرش قبول نمی کند و می گوید که من 5 تومان و تو (بردیا) 3 تومان باید برداریم.(هر کس به اندازه نان خودش). هیچیک حرف دیگری را قبول نمی کند و پس از مدتی مشاجره تصمیم می گیرند پیش یک ریاضیدان بروند. ریاضیدان پس از شنیدن ماجرای آن دو نفر ,پول را بین آن دو به طور عادلانه ای تقسیم می کند. حال به نظر شما این تقسیم چگونه است؟ (استدلالتان را هم بنویسید.) |
||
|
+
نوشته شده در چهارشنبه هفتم اسفند 1387ساعت 14:49 توسط ساماني
|
|
||
|
|
|
|
دید کلیمفهوم تایع یکی از مهم ترین مفاهیم علم ریاضی بوده و به همان اندازه در ریاضی اهمیت دارد که مفهوم مجموعه دارد. اغلب، می گویند تابع، کمیت متغیری است که از کمیت متغیر دیگر تبعیت می کند. برای توزیع "معمولی"، مانند:Y=sinx ,y=x2 , y=a+bx والی آخر، این تعریف کاملا مناسب می باشد. ممکن است اگر توابع دیگری، مانند: y=sin2x+cos2x را در نظر بگیریم، می بینیمی که مقادیر آن تابعه دیگر تغییر نمی کند و بنابراین دیگر کمیت متغیری که از کمیت x تبعیت کند، وجود نداد. ! تعریف تایع: تناظری که به هر عنصر x از یک مجموعه x فقط و فقط یک عنصر y از یک مجموعه y رانسبت را دهد، تایع گویند. توابع را با حروف f یا حروف کوچک خطی لاتین نشان می دهیم. ادامه مطلب |
||
|
+
نوشته شده در سه شنبه ششم اسفند 1387ساعت 17:42 توسط ساماني
|
|
||
|
|
|
|||||
1، 3، 6، 10، 15، 21 و ... بنظر شما این اعداد چه ویژگی مشترکی دارند؟ اگر دست به قلم نشویم و شکل نکشیم و آزمایش نکنیم، فهمیدن ارتباط میان آنها کمی دشوار است. به این شکل دقت کنید مشکل شما حل خواهد شد. به اعداد موجود در این سری، اعداد مثلثی می گوییم. 1 = 1 3= 1+2 6= 1+2+3 10= 1+2+3+4 15= 1+2+3+4+5 21= 1+2+3+4+5+6 . . . اما شکل اول یک ایده جدید به ما می دهد که می توانیم این اعداد را همانند پاراگراف بالا نیز تفسیر کنیم. به بیان دیگر می توان گفت که هرعدد مثلثی تشکیل شده است از حاصل جمع یکسری از اعداد متوالی طبیعی. به این معنی که اولین عدد مثلثی مساوی است با مجموع یک عدد ازاعداد طبیعی دومین معادل است با مجموع دو عدد از اعداد طبیعی، سومین معادل است با مجموع سه عدد از اعداد طبیعی و ... و بالاخره n امین عدد مثلثی معادل است با مجموع n عدد از اعداد طبیعی که اگرریاضیات دبیرستان را هنوز فراموش نکرده باشید بخاطر خواهید آورد که مقدار این عدد معادل n(n+1)/2 خواهد بود. (یک تصاعد هندسی ساده)
مجموع دو عدد مثلثی متوالی اگر هر دو عدد پشت سرهم در سری اعداد مثلثی را با هم جمع کنیم حاصل جمع یک عددمربع می شود. مثلا" 1+3=4 یا 3+6=9 یا 6+10=16 و ... البته دلیل آن ساده است به شکل دوم توجه کنید و ببینید که چگونه دومثلث قرمز و سبز روی هم تشکیل یک مربع را می دهند. (سعی کنید با استدلال ریاضی هم این موضوع را ثابت کنید، ساده است از همان رابطه بالا استفاده کنید.) مطلب اخیر اغلب بصورت قضیه مربع هر عدد طبیعی برابر است با مجموع دو عدد مثلثی متوالی نیز مطرح می شود. |
||||||
|
+
نوشته شده در سه شنبه ششم اسفند 1387ساعت 17:18 توسط ساماني
|
|
||||||
|
|
درباره |
|
|
||
|
|
|
|
|
صفحه نخست پست الکترونیک آرشیو وبلاگ عناوین مطالب وبلاگ |
||
|
|
آرشیو موضوعی |
|
|
نمونه سوال ریاضیات دبیرستان نمونه سوالات ریاضیات راهنمایی معمای ریاضی مسائل ریاضی اخبار ریاضی آموزش حسابان مجله ریاضی |
||
|
|
پیوندها |
|
|
انجمن ریلضی ایران ریـــــاضیــــات ، هنـــر تفكــــر آموزش ریاضی و آمارو احتمال لبخند رياضي رشد دبيرخانه راهبردي رياضي كشور والیبال مجتمع سلمان زندکی بدون کامپیوتر=؟؟؟ |
||
|
|
|
|
|
POWERED BY
BLOGFA.COM |
||
باشد سری همگرا است.
باشد سری واگرا است.
باشد آنگاه آزمون بی نتیجه است و برای تشخیص وضعیت همگرایی باید از سایر آزمونها استفاده شود.
را در نظر بگیرید. بر طبق دستور آزمون داریم: 
و یا به طور سادهتر 
.
و یک بینهایت بزرگ میگوییم هرگاه 
واگرا است. 
، جملات دنباله از شمارهای به بعد با L همعلامت میباشند. 
نوشت. چون a-d و d مقدارهای ثابتاند. جمله nام را میتوان به شکل A+nB نوشت که عبارتی خطی از n است. برعکس ، اگر جمله nام یک سری عبارتی خطی از n باشد. آن سری یک تصاعد حسابی است زیرا اگر 
جمله nام یک سری باشد داریم: 
. پس این سری یک تصاعد حسابی با جمله اول A+B و تفاضل مشترک B است.
را میتوان به شکل 
نوشت. که عبارتی درجه دوم از n است. پس مجموع n جمله اول هر تصاعد حسابی را میتوان بشکل 
نوشت که B , A عددهای ثابت و مستقل از n هستند. برعکس ، اگر مجموع n جمله اول یک سری به شکل 
یعنی عبارتی درجه دوم از n بدون جمله ثابت باشد، آن سری یک تصاعد حسابی است. 
از دامنه ی 
نیز عضوی از دامنه ی 
برقرار باشد.
