تعریف

هر عبارت به صورت را یک سری نامتناهی (یا به طور ساده) یک سری می‌نامیم.

هر یک از اعداد را یک جمله این سری نامیده و مجموعهای متناهی


و به طور کلی

را مجموعهای جزئی اول، دوم، سوم و nام سری می‌گوییم. همچنین دنباله

را دنباله مجموعهای جزئی سری می‌نامیم.

همگرایی سریها

فرض می‌کنیم یک سری و دنباله مجموعهای جزئی آن باشد. در این صورت ، اگر دنباله همگرا باشد، یعنی وجود داشته باشد، سری را همگرا و S را مجموع آن می‌نامیم. در غیر اینصورت سری را واگرا می‌گوییم.

شرط لازم همگرایی

اگر سری همگرا باشد، وقتی که ، جمله عمومی آن به سوی صفر می‌گراید.

آزمون واگرایی

اگر ، یا وجود نداشته باشد، آنگاه سری واگراست.

سری هندسی

هر سری به صورت
را که در آن r,a اعدادی حقیقی هستند و ، می‌نامیم. a را جمله اول، r را قدر نسبت این سری هندسی می‌گوییم.

ویژگیهای سری هندسی

سری هندسی دارای ویژگی های زیر است:
الف) اگر ، این سری همگرا است و مقدار سری هندسی برابر است با ، این سری واگراست.

قضایای مهم در سریها

• اگر و دو سری همگرا باشند، آنگاه

الف) همگرا است و .
ب) اگر C عددی حقیقی باشد، آنگاه همگرا است و واگرا و سری همگرا باشد. در این صورت:

الف) سری واگراست.
ب) اگر C عددی ناصفر باشد، آنگاه سری واگراست.
از این دو قضیه می‌توان دو نتیجه به دست آورد:
نتیجه1) ضرب هر جمله سری در ثابتی غیر صفر تاثیری در همگرایی یا واگرایی سری ندارد.
نتجه2) حذف (یا جمع) یک تعداد متناهی از جملات سری تاثیری در همگرایی یا واگرایی سری ندارد.

آزمون انتگرال

فرض می‌کنیم یک سری و f یک تابع باشد که به ازای نامنفی، پیوسته و کاهشی است و به ازای ، در این صورت:

الف) سری همگرا است اگر انتگرال ناسره واگرا است اگر و دو سری باشند به طوری که به ازای هر n ، و , ، اگر باشد در این صورت:

الف) اگر L>0 باشد، آنگاه یا هر دو سری همگرا یا هر دو واگرا هستند.
ب) اگر L=0 و همگرا باشد، آنگاه نیز همگرا است.
ج) اگر و اگرا باشد، آنگاه واگراست.

سری متناوب

می‌گویند یک سری عددی متناوب است، هرگاه علامت جملات آن به طور متناوب مثبت و منفی باشد.

آزمون لایبنیتز

اگر در سری متناوب قدرمطلق هر جمله از قدرمطلق جمله قبل کوچکتر و حد دنباله در nای که به بینهایت میل می‌کند برابر صفر باشد، سری همگراست و مجموع آن عددی مثبت و کوچکتر از جمله اول سری است.

همگرایی مطلق و مشروط

1. اگر سری همگرا باشد، می‌گوییم که سری همگرای مطلق است.
2. اگر سری همگرا ولی واگرا باشد (یعنی این سری همگرا، همگرای مطلق نباشد) آنگاه می‌گوییم که سری همگرای مشروط است.

سریهای مختلط

سریهایی که جملات آنها اعداد مختلط هستند به صورت زیر تعریف می‌شوند:

اعمال روی سریها

جمع سریها

اگر دو سری به جملات حقیقی یا مختلط همگرا باشند، و مجموع آنها را به ترتیب با A و B نمایش دهیم، آنگاه سری که جمله عمومی آن است همگرا و مجموع آن برابر A+B می‌باشد.

ضرب سریها

اگر دو سری با جملات حقیقی یا مختلط همگرایی مطلق باشند، و مجموع آنها را به ترتیب با A و B نمایش دهیم، آنگاه سری همگرای مطلق است و مجموع آن برابر است با AB.

در ریاضی سری عبارت است از مجموع جملات یک دنباله.به عبارت دیگر سری شماری از اعداد است که بین آنها عملگر جمع قرار گرفته است.

سریها بر دو نوعند:سریهای متناهی و نامتناهی؛که سریهای متناهی را می توان با اعمال ساده جبری محاسبه کرد،ولی برای محاسبه سریهای نامتناهی باید از آنالیز کمک گرفت.
به عنوان مثال سری زیر یک سری متناهی است.



سری نامتناهی، سری میباشد که جملات آن محدود نیست.
به این سری توجه نمایید:

این سری یک سری عددی نامتناهی میباشد.که در حالت کلی به صورت زیر نشان داده میشود.که به آن سری هندسی میگویند.


a را جمله اول و k را قدر نسبت سری می نامند.مجموع n جمله اول یک سری رابا نشان میدهند
در صورتی که به سمت یک عدد متناهی سیر کند آن را همگرا مینامند. در غیر این صورت به آن یک سری واگرا گویند.
حال به معرفی نوع دیگری از سریها به نام سریهای توانی می پردازیم:سریهایی را که جملات آن توابعی از متغیر x باشند را سریهای توانی گویند.و مجموعه مقادیر از x که به ازای آنها توابع موجود در سری تعریف شده و سری همگرا باشد را میدان همگرایی سری گویند.

هر سری تابعی به شکل
را یک سری توانی بر حسب میگویند.واضح است که جملات آن به فرم زیردر میآید:


حال به قضیه مهمی به نام قضیه تیلور میرسیم؛طبق این قضیه میتوان هر تابعی را که در یک بازه بینهایت بار مشتق پذیر باشد میتوان در این بازه به صورت یک سری توانی نامتناهی که به سری تیلور معروف است نشان داد.به عنوان مثال تابعی مانند را میتوان به صورت جمع توابعی بر حسب نوشت.
قبل از اینکه به توضیح کامل درباره این سریها بپردازیم.مثالی را در مورد این سریها بیان میکنیم.تابع sinx را در نظر بگیرید.این تابع را میتوان به صورت سری زیر بیان کرد:




لازم به توضیح است که در سری فوق c=0 در نظر گرفته شده است.

در اشکال زیر نمودار سری به ازای n=4؛ n=7 و نمودار sinx از راست به چپ رسم شده است.
همانطور که مشاهده میشود هر قدر تعداد جملات سری افزایش یابد شکل آن به یک منحنی تبدیل مشود.و اگر تا بینهایت رسم شکل ادامه یابد به شکل تابع sin در می‌آید.

حال به شکل تابع sinx توجه کنید متوجه میشوید که با ادامه روند رسم اشکال به ازای nهای نامتناهی سرانجام به شکل sinx خواهیم رسید.
حال در زیر به تشریح کامل سریهای تیلور می پردازیم.

بحث جامع

در ریاضیات، سری‌های تیلور از یک تابع f حقیقی (یا مختلط) که معمولا بطور نامحدود مشتق پذیر بوده و در یک فاصله باز (a-r و a+r ) تعریف شده، بصورت سریهای توانی زیر میباشد:



که در آن !n فاکتوریل n و (f ⁽ⁿ⁾(a به معنی مشتق nام f در نقطه a می‌باشد.

اگر این سریها برای هر مقدار x در فاصله (a-r, a+r) همگرا بوده و مجموع آن برابر (f(x باشد، آنگاه تابع (f(x تحلیلی نامیده می‌شود. برای اطمینان از همگرایی سریها به (f(x، معمولا از تخمین برای جمله باقیمانده قضیه تیلور استفاده میشود. یک تابع تحلیلی است، اگر و فقط اگر بتوان آنرا بصورت یک سریهای توانی نمایش داد؛ ضرایب در سریهای توانی لزوما همان ضرایبی است که در فرمول سریهای تیلور داده شده است.

اگر a = 0 باشد، این سریها به نامسریهای مک‌لورن (Maclaurin) نامیده می‌شود.
اهمیت یک چنین سریهای توانی سه جانبه است. اول، مشتق گیری و انتگرال گیری سریهای توانی میتواند جمله به جمله انجام شود لذا بطور خاصی ساده است. دوم، یک تابع تحلیلی میتواند بطرز یکتایی به تابع هولومورفیک (holomorphic) تعریف شده روی یک صفحه باز در روی سطح مختلط، امتداد داده شود، که مکانیزم کامل تحلیل مختلط را فراهم می‌نماید. سوم، سریهای (کوتاه شده) می تواند برای محاسبه مقادیر تقریبی تابع استفاده شود.


توجه داشته باشید که مثالهایی برای توابع (f(x که دارای مشتقات محدود بوده و سریهای تیلور آنها همگرا بوده ولی برابر (f(x نیست، وجود دارد. برای مثال، برای تابع تعریف شده مقطع بصورت (f(x) = exp(−1/x² اگر x ≠ 0 وf(0) = 0،
تمام مشتفات در نقطه x = 0 صفر میباشند، بنابراین سریهای تیلور (f(x صفر بوده، و شعاع همگرایی آن محدود است، اگر چه تابع بطور یقین صفر نمی باشد. این آسیب، توابع ارزشمند- مختلط برای یک متغیر مختلط را مخدوش نمی نماید. توجه اینکه با نزدیک شدن z به سمت 0 در طول محور فرضی (exp(−1/z² به 0 نزدیک نمی شود.

بعضی از توابع را نمیتوان بصورت سریهای تیلور نوشت زیرا آنها دارای حالت استثنایی می باشند؛ در این حالتها، اغلب نیز میتوان به بست سریهایی دست یافت اگر بتوان از توانهای منفی متغیر x استفاده نمود؛ رجوع شود به سریهای لارنت (Laurent). برای مثال، (f(x) = exp(−1/x² را می‌توان بر حسب سریهای لارنت نوشت.

قضیه پیشرفت اخیر برای یافتن سریهای تیلوری است که بتواند راهکاری برای معادلات دیفرانسیل باشد. این قضیه توسعه تکرار پیکارد (Picard) میباشد.

فهرست سریهای تیلور

چندین بست سریهای تیلور مهم بشرح ذیل میباشد. تمام این بستها نیز برای متغیرهای مختلط x صادق می باشد.

توابع اکسپتانسیلی و لگاریتم طبیعی:





سریهای هندسی:



قضیه فرعی-جزیی«Binomial»:



توابع مثلثاتی:













توابع هایپربولیک:

توابع لامبرت (Lambert's W):

اعداد B_k که در بستهای (tan(x و (tanh(x ظاهر می شوند همان اعداد برنولی ، (C(α,n در بستهای فرعی-جزیی ضرایب فرعی-جزیی بوده و E_k در بستهای (sec(x همان اعداد اولر می باشند.

چند بعدی

سریهای تیلور را به توابع با چند متغیر نیز تعمیم داد.

سری فوریه ، روشی در ریاضیات می‌باشد که به وسیله آن ، هر تابع متناوبی به صورت جمعی از توابع سینوس و کسینوس می‌تواند نوشته شود. نام این قضیه به اسم ریاضیدان فرانسوی ، ژوزف فوریه ثبت شده است.
در نظریه سریهای فوریه نشان داده شده است که اگر (f(x در شرایطی مثل (شرط دیریشله) صدق کند، می‌توان آن را به صورت سری هماهنگی به شکل:

بسط داد و اینکه در نقاط ناپیوستگی سری سمت راست رابطه فوق برابر مقدار متوسط است. ضرایب a_n و b_n را می‌توان با استفاده از روابط متعامد:







که در آنها _mnδ نماد کرونکر است که به ازای m=n برابر واحد و در غیر اینصورت صفر است. همچنین اگر یک تابع متناوب با تناوب T باشد یا به عبارتی: (f(t + T) = f(t آنگاه ، این تابع به صورت زیر می‌تواند نوشته شود:



در اینجا داریم:





سری فوریه می‌تواند به صورت زیر نیز نوشته شود:



که


حساب کرد. می‌توان نشان داد که این سری به طور یکنواخت در بازه (L/۲ , -L/۲) همگراست، بطوری که انتگرال گیری جمله به جمله در استنتاج این معادلات کار بجایی است. این معادلات را با تبدیلات زیر ادامه می‌دهیم:





در نتیجه:



بنابراین:





حال با تغییر بازه انتگرال گیر فوق به {o,2L} داریم:





این سری را می‌توان به صورت زیر هم نوشت:



به عنوان آزمون:







بنابراین:



ضریب A_n را می‌توان به صورت زیر توسعه داد:





در نهایت در بازه {L/2 , L/2-} سری فوریه به صورت:



و

تعریف می‌شود.

---

سری نامتناهی را سری هارمونیک یا همساز می گویند. علت نامگذاری این سری به این عنوان به این دلیل است که طول موجهای حاصل از ارتعاش های یک تار مرتعش با نسبت های متناسب است. این سری اگرچه به کندی افزایش می یابد اما از دسته سریهای واگرا است و حاصل آن بینهایت است.

• اثبات واگرایی سری هارمونیک:

برای اثبات همگرایی این سری می توان جملات آن را به این صورت نوشت:

مجموع جملات در هر گروه بزرگتر از است و چون تعداد گروهها که مجموع جملاتشان بزرگتر از است نامتناهی است مجموعه جزیی سری از هر عدد دلخواه بزرگتر می شود. پس این سری همگرا نمی باشد.

• این اثبات به نیکُل اورسم(Nicole d'Oresme) منسوب است. وی اولین فردی بود که در مورد واگرایی سری هارمونیک اثباتی را ارائه داد، اما این اثبات برای قرنها گم نام باقی ماند. بعد از او به ترتیب پیترو منگُلی(Pietro Mengoli) در سال 1647، یوهان برنولی(Johann Bernoulli) در سال 1687و بعدها یاکوب برنولی(Jakob Bernoulli)، اثباتهایی برای واگرایی این سری ارائه کردند. البته با استفاده از آزمونهای همگرایی سریها از جمله آزمون انتگرال هم می توان واگرایی این سری را نشان داد.

همچنین در شکل نمودار تعییرات مقدار سری بر حسب تعداد جملات را مشاهده می کنید. مشاهدی می شود این سری هر چند کند، در نهایت به سمت بینهایت میل می کند.

• لازم به توضیح است سری تعمیم یافته سری هارمونیک است که به آن تابع زتای ریمان(Riemann zeta Function) می گویند.

سری هارمونیک متناوب

---

سری را سری هارمونیک متناوب می گویند که حاصل آن با استفاده از سری تیلر لگاریتم طبیعی بدست می آید و برابر است با . همچنین این سری را نیز می توان حالت خاص از تابع اتای دیریکله(dirichlet eta function ) دانست.

• برهان: می دانیم با استفاده از بسط تیلر لگاریتم طبیعی داریم:

حال اگر قرار دهیم x=1 خواهیم داشت:

پس تساوی فوق برقرار است.

در شکل زیر نمودار تغییرات مقدار سری هارمونیک متناوب را بر حسب تغییرات تعداد جملات مشاهده می کنید:

عدد هارمونیک

---

عدد هارمونیک عددی است که از جمع جملات سری هارمونیک بوجود می آید. n امین عدد هارمونیک را با نماد نشان می دهند و به این صورت تعریف می کنند:

• سرعت رشد عدد هارمونیک با سرعت رشد لگاریتم طبیعی عدد n تقریبا برابر است. به عبارت دیگر حد نسبت این دو وقتی n به سمت بینهایت میل می کند برابر با یک است. پس مقدار در هر مرحله تقریبی از است که با افزایش هر چه بیشتر n این اختلاف این دو کمتر می شود و اعداد هارمونیک با افزایش n به مقدار لگاریتم طبیعی عدد n نزدیک می شوند.

برهان: با توجه به تعریف n امین عدد هارمونیک داریم:

حال وقتی n زیاد و زیادتر می شود و به بینهایت میل می کند داریم:

از طرفی با استفاده از تعریف مجموع ریمان و انتگرال معین داریم:

پس خواهیم داشت:

که با توجه به حاصل انتگرال فوق داریم:

پس وقتی n به بینهایت میل می کند مقدار عدد هارمونیک به نزدیک می شود(ولی با آن برابر نمی شود) و با آن همرفتار است.
در شکل زیر نمودار تغییرات عدد هارمونیک را با افزایش n مشاهدی می کنید:

سری هارمونیک عمومی

---

سری را سری هارمونیک عمومی(کلی) می گوییم. علت این است که در یک حالت خاص a=1,b=0 این سری به سری هارمونیک تبدیل می شود و لذا یک حالت کلی از سری هارمونیک است. تمامی سری ها به این شکل همانند سری هارمونیک واگرا هستند.
برهان: برای بررسی وضعیت همگرایی این سری از آزمون مقایسه حد استفاده می کنیم.
به این منظور از سری هارمونیک کمک می گیریم. میدانیم این سری واگرا است پس:

پس سری از نظر همگرایی با سری هارمونیک یکسان است پس این سری واگرا است.

بررسی سری هارمونیک

---

اگر در سری هارمونیک، کسرهایی را که مخرجشان غیر اول است برداریم سری حاصل می شود که همانند سری هارمونیک واگرا است.
واگرایی سری فوق نخستین بار توسط اویلر(Euler) به اثبات رسید.

• اثبات واگرایی سری فوق:

در رابطه با اثبات واگرایی سری هارمونیک تشکیل شده از اعداد اول روش های مختلفی وجود دارد، که در اینجا تنها به روشی که خود اویلر برای اثبات به کار برد اشاره می کنیم.(سایر راهها در صفحه ای جداگانه آورده شده است)
او ابتدا سری هارمونیک را در نظر گرفت:

همچنین او میان تابع زتای ریمان و اعداد اول p رابطه زیر را پیدا کرده بود که به نام فرمول ضرب اویلر شناخته می شود:

که مقصود از ضرب روی تمام اعداد اول است. از سوی دیگر:

پس او با توجه به مطالب فوق نتیجه گیری نمود:

او همچنین نتیجه گرفت که تعداد اعداد اول برای برقراری این تساوی باید نامتناهی باشد چرا که در صورت متناهی بودن اعداد اول p در سمت راست تساوی، حاصل ضرب در سمت راست همگرا به عددی خواهد بود و در نتیجه نشان دهنده همگرا بودن سری هارمونیک است که این یک تناقض ایجاد می کند. پس تعداد اعداد اول برای برقراری تساوی فوق نامتناهی است.
اویلر از این رابطه استفاده کرد تا به دنباله ای بیکران دست بافت.
او ابتدا از دو طرف لگاریتم گرفت(لگاریتم طبیعی) و سپس از بسط تیلر استفاده نمود:

برای یک مقدار ثابت C و کمتر از یک چون همان طور که قبلا اشاره شد سری هارمونیک با (ln(n همرفتار است(به عبارت دیگر وقتی n به بینهایت میل می کند نسبت آنها به یک میل می کند) , با توجه به نامساوی اویلر در نهایت نتیجه گرفت:

پس می توان نتیجه گرفت این سری واگرا است.
به این ترتیب اویلر نشان داد سری نامتناهی دنباله معکوس اعداد اول همانند سری هارمونیک با افزایش n، همرفتار با (ln(n است یا به عبارتی وقتی n به بینهایت میل می کند مقدار سری برابر با (ln(n است.

مطالبی شگفت انگیز از سری هارمونیک

---

با بررسی سری هارمونیک کتوجه می شویم این سری ویژگی های جالب و شگفت آوری دارد که در اینجه به برخی از آنها اشاره می کنیم:
مجموع جزیی این سری را برای چند مقدار n بدست آورید:

به این ترتیب مجموع بیست جمله اول سری هارمونیک تنها حدود است!
حال به نظر شما اگر بخواهیم مجموع این سری به عدد بیست برسد چند جمله این سری را باید با هم جمع کنیم؟
شاید باورتان نشود که اگر جمله اول این سری را با هم جمع کنیم یا به عبارتی را محاسبه کنیم حاصل حتی به عدد چهارده هم نمی رسد! در یک سایت برنامه ای ارائه شده است که بوسیله آن می توان مجموع جزیی سری هارمونیک را به ازائ هر n محاسبه کرد. با مراجعه به این سایت و محاسبه مقدار داریم:

محاسبات نشان میدهد مجموع جزیی این سری حتی بعد از جمله همچنان کمتر از بیست است!!!
حال خوتان را برای مطلبی شگفت آورتر اماده کنید. فکر می کنید چند جمله این سری را باید محاسبه کنیم تا حاصل مجموع جزیی سری از عدد 100 بیشتر شود؟
جالب است بدانید برای تحقق این امر باید یا بیش از پانزده میلیون تریلیون تریلیون تریلیون جمله این سری را با هم جمع کرد!!!
مقداد دقیق جملات مورد نیاز به این صورت است:

برای بررسی این مطلب به محاسبات زیر توجه کنید:

بنابراین:

مطلب جالب دیگر این است که با اندکی تغییر می توان این سری را به یک سری همگرا تبدیل کرد.
به عنوان مثال سری را در نظر بگیرید. جملات این سری خیلی یه جملات سری هارمونیک نزدیک هستند و اختلاف آنها بسیار ناچیز است. به عنوان مثال اختلاف جمله هزارم سری هارمونیک و سری برابر با است و این اختلاف در جملات بعدی کمتر می شود. بنابراین در یک نگاه سریع و عجولانه می توان گفت سری همانند سری هارمونیک واگرا است در حالی که می دانیم سری یک p-سری است با توان p>1 پس همگرا است!

مثال جالب دیگر این است که اگر از بین جملات سری هارمونیک جملاتی را که در مخرج آنها رقم یک وجود دارد حذف کنیم سری جدیدی به این صورت حاصل می شود:

حالا حدس شما چیست؟ فکر می کنید این سری همگرا است یا واگرا؟
جالب است بدانید در سال 1914، یکی از دانشجویان دانشگاه ایلینویز آمریکا ثابت کرد که این سری همگرا است و مقدار همگرایی آن کمتر از 90 است.
همچنین قبلا نشان دادیم اگر در سری هارمونیک جملاتی که مخرجشان غیر اول است حذف کنیم سری زیر حاصل می شود که واگرا است:

دو مطلب اخیر به خوبی این نکته را نشان می دهد که حذف تعداد نامتناهی جمله از میان جملات یک سری می تواند در همگرایی و واگرایی سری تاثیر بگذارد.

همچنین ببینید

در سال 1202 لئونارد فیبوناچی (Leonardo Fibonacci) توانست به یک سری از اعداد دست پیدا کند که بعدها بعنوان پایه برای بسیاری از رابطه های فیزیک و ریاضی استفاده شد، کافی است از عدد صفر و یک شروع کنید. آنها را کنار هم بگذارید و عدد بعدی را از جمع کردن دو عدد قبل بدست آورید، بسادگی به این رشته از اعداد خواهید رسید :


0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144 ...

البته برخی از ریاضیدانان عدد صفر را جزو رشته فیبوناچی نمی دانند و یا حداقل آنرا جمله صفرم سری می دانند. نکته ای که تعجب برانگیز است آنکه اگر از عدد سوم نسبت اعداد این سری را به عدد قبلی حساب کنیم خواهیم داشت :


1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, ...

و یا :

1, 2, 1.5, 1,666, 1.6, 1,625, 1.6153, 1.6190, 1.6176, 1.6181, 1.6179و ...

بله بنظر می رسد که این رشته به سمت همان عدد طلائی معروف میل میکند. بگونه ای که اگر نرخ عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد 1.618033988749895 می رسیم که با تقریب 14 رقم اعشار نسبت طلایی را نشان می دهد.

بعدها محاسبات و استدلال های ریاضی نشان داد که این سری همگرا به سمت نسبت طلایی می باشد و جمله عمومی آنرا با بتقریب می توان اینگونه نمایش داد :




که در آن Phi عدد طلایی میباشد. البته فرمول های دقیق دیگری وجود دارند که اعداد سری و یا اعداد بعدی (Successor) این سری را نمایش می دهند که دراین مطلب به آن نخواهیم پرداخت.

معمای زاد و ولد خرگوش

در واقع فیبوناچی در سال 1202 به مسئله عجیبی علاقمند شد. او می خواست بداند اگر یک جفت خرگوش نر و ماده داشته باشد و رفتاری برای زاد و ولد آنها تعریف کند در نهایت نتیجه چگونه خواهد شد. فرضیات اینگونه بود :

- شما یک جفت خرگوش نر و ماده دارید که همین الآن بدنیا آمده اند.
- خرگوشها پس از یک ماه بالغ می شوند.
- دوران بارداری خرگوشها یک ماه است.
- هنگامی که خرگوش ماده به سن بلوغ می رسد حتما" باردار می شود.
- در هر بار بارداری خرگوش ماده یک خرگوش نر و یک ماده بدنیا می آورد.
- خرگوش ها هرگز نمی میرند.

حال سئوال اینجاست که پس از گذشت یکسال چه تعداد خرگوش نر و چه تعداد خرگوش ماده خواهیم داشت؟


لئوناردو فیبوناچی ایتالیایی حدود سال 1200 میلادی مساله ای طرح کرد : فرض کنید که یک جفت خرگوش نر و ماده در پایان هر ماه یک جفت خرگوش نر و ماده جدید بدنیا بیاورند ... اگر هیچ خرگوشی از بین نرود , در پایان یک سال چند جفت خرگوش وجود دارد؟؟؟

فیبوناچی تصمیم گرفت برای محاسبه تعداد انها Fn را تعداد جفتها در شروع ماه N ام فرض کند.
پس F1 =1 و F2 =2 خواهد بود ... چون در شروع ماه اول فقط یک جفت اصلی وجود دارد...اما با شروع ماه دوم جفت اول جفت دوم را درست میکند.
سپس او متوجه شد که با شروع ماه N ام جفتها به دو گروه تقسیم میشوند: Fn-1 تعداد جفتهای قدیمی و تعداد جفتهای جدید پس از N-1 ماه است .چون جفت جدید پس از یک ماه تولید میشود و بعد از یک ماه دیگر اولین جفت خود را تولید میکند ... تعداد جفتهای جدید برابر تعداد جفتهای دو ماه قبل است که با Fn-1 نشان داده میشود .
پس :

Fn= Fn-1 + Fn-2

با استفاده از این فرمول و مقادیر اولیه F1 =1 و F2 =2 میتوان تعداد جفتها را پس از یک سال بدست اورد و نوشت F12=233 .
با یک توافق عمومی مقادیر اولیه از 1 و 1 بجای 1و 2 شروع میشود (بطوری که جمله های دنباله بصورت زیر نوشته میشوند)

... ,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233
پس پاسخ این سئوال را در ابتدای مطلب بیان کرده بودیم.

مارپیچ فیبوناچی

به شکل اول نگاه کنید و ببینید که به چه زیبایی از کنار هم قرار دادن تعدادی مربع می توان رشته فیبو ناچی را بصورت هندسی نمایش داد. حال اگر در هر یک از این مربع ها از نقاط قرمز ربع دایره هایی رسم کنیم در نهایب به نوعی از مارپیچ حلزونی شکل می رسیم که به مارپیچ فیبوناچی (Fibonacci Spiral) معروف می باشد. بدیهی است که نرخ رشد و باز شدن این مارپیچ متناسب با نرخ بزرگ شدن اعداد در سری فیبوناچی می باشد.

سری فیبوناچی چه در ریاضیات چه در فیزیک و علوم طبیعی کاربردهای بسیار دیگری دارد، ارتباط زیبای فاصله های خوش صدا در موسیقی، چگونگی تولد یک کهکشان و ... از جمله این کاربردهاست.

آزمون واگرایی

از جمله آزمون های پر کاربرد در تعیین وضعیت همگرایی سریها آزمون واگرایی است که بیان می کند:
اگر یک سری باشد و داشته باشیم:

آنگاه سری واگرا است. در واقع ای شرط شرطی کافی برای واگرایی یک سری است
اساس این آزمون را قضیه زیر تشکیل می دهد:

• قضیه: اگر سری همگرا باشد آنگاه

برهان: می دانیم بین مجموع جزیی سری و جملات آن چنین رابطه ای برقرار است:

حال فرض می کنیم سری فوق به عددی حقیقی چون L همگرا باشد در این صورت:

چون حذف تعداد متناهی جمله از جملات سری در همگرایی و مقداد همگرایی تاثیر ندارد.
پس داریم:

و حکم ثابت می شود.

• لازم به توضیح است که عکس این قضیه برقرار نمی باشد و اگر در این سری حد برابر صفر باشد نمی توان گفت لزوماً سری همگرا است، و این شرط سرطی لازم (و نه کافی) برای همگرایی یک سری است.

حال می دانیم عکس نقیض هر قضیه هم برقرار است(به طور کلی عکس نقیض گزاره با آن گزاره هم ارز است(چرا؟)) پس از عکس نقیض قضیه فوق داریم:
اگر سری حد مخالف صفر باشد(یا حتی موجو نباشد یا نامتناهی باشد) سری واگرا است.
به عنوان مثال در سری چون پس سری واگرا است.

آزمون مقایسه حد

---

از دیگر آزمونها در زمینه تشخیص همگرایی سری ها آزمون مقایسه حد است. این آزمون بیان می کند:
اگر و دو سری با جملات مثبت باشند اگر موجود و مخالف صفر باشد آنگاه دو سری مورد نظر از نظر همگرایی مانند همدیگر هستند یعنی یا هر دو واگرا و یا هر دو همگرا هستند.

• با بیان یک مثال روش استفاده را توضیح می دهیم:

می خواهیم همگرایی سری را بررسی کنیم.
می دانیم که سری سری هارمونیک است و یک سری واگرا است. حال داریم:

پس دو سری فوق از نظر هگرایی همانند همدیگر هستند و چون سری واگرا است پس سری هم واگرا است.

آزمون مقایسه

---

آزمون مقایسه از جمله آزمونهایی است که برای تعیین وضعیت همگرایی و واگرایی سریها با جملات حقیقی و مختلط استفاده می شود. اساس کار این آزمون بر پایه مقایسه جملات سری مورد بحث با جملات یک سری است که از وضعیت همگرایی آن اطلاع داریم. پس برای انجام این آزمون نیاز به در نظر گرفتن یک سری دیگر که از وضعیت همگرای آن اطلاع داریم، می باشد. این آزمون به دوصورت انجام می گیرد که به شرح آنها می پردازیم:

• آزمون مقایسه نوع اول:

این آزمون بیان می کند اگر یک سری همگرا باشد و عدد حقیقی C (غیر وابسته به n) چنان موجود باشد که آنگاه سری هم همگرا است.
همچنین اگر سرییک سری واگرا باشد وآنگاه سرییک سری واگرا است.
به طور خلاصه می توان گفت اگر دو سری و را داشته باشیم که آنگاه:

• اگر سری همگرا باشد آنگاه سری نیز همگرا است.
• اگر سری واگرا باشد آنگاه سری نیز واگرا است.

• آزمون مقایسه نوع دوم:

نوع دیگری از آزمون مقایسه به این صورت است که اگر سری همگرا باشد و عددی حقیقی چون C غیر وابسته به n به گونه ای موجود باشد که آنگاه سری همگرا است.
همچنین اگر سری واگرا باشد و آنگاه سری نیز واگر است.
به طور خلاصه اگر و دو سری باشند کهآنگاه:

• اگر همگرا باشد آنگاه سری نیز همگرا است.
• اگر سری واگرا باشد آنگاه سری نیز واگرا است.

این بیان از این آزمون بر اساس آزمون نسبت دالامبر نتیجه گرفته شده است.

• حال با ارائه چند مثال روش انجام آزمون را برسی می کنیم:

---

می خواهیم وضعیت همگرایی سری را بررسی کنیم. می دانیم به ازای n>3 داریم: پس در نتیجه داریم
و چون سری همگرا است پس سری هم همگرا است.

---

حال می خواهیم همگرایی سری را بررسی کنیم. می دانیم که پس از طرفی می دانیم سری سری هارمونیک است و واگرا است پس در نتیجه سری نیز واگرا است.

آزمون انتگرال

معرفی

---

آزمون انتگرال از جمله آزمونهای همگرایی سری ها است که برای سریهایی با جملات نامنفی کاربرد دارد. این آزمون برای اولین بار در قرن چهاردهم توسط مدهاوا(Madhava) ریاضیدان هندی مطرح شد و بعدها توسط ریاضیدانان اروپایی چون کوشی و مک لورن گسترش پیدا کرد و به همین دلیل گاهی به عنوان آزمون کوشی-مک لورن یا آزمون انتگرال کوشی یا آزمون انتگرال مک لورن، نیز نامیده می شود.

آزمون انتگرال

اگر یک سری نا متناهی باشد و تابع تابعی نزولی و پیوسته در بازه به گونه ای باشد که و آنگاه سری و انتگرال غیر عادی , هر دو از نظر همگرایی مانند همدیگر هستند.
همچنین بیانی ساده تر از این آزمون نیز به این صورت موجود است به این ترتیب که سری نامتناهی با جملات نا منفی همگرا است اگر و تنها اگر حاصل انتگرال غیر عادی متناهی باشد. که در آن f تابعی نزولی تعریف شده در بازه است که . حال اگر انتگرال واگرا باشد انگاه سری نیز واگرا است.

• با ارائه چند مثال روش استفاده از این آزمون را بررسی می کنیم:

می خواهیم همگرایی سری هارمونیک را با آزمون انتگرال بررسی کنیم. تابع نزولی و پیوسته در بازه است و داریم: همچنین این تابع تابعی است که برای هر n جملات سری هارمونیک را تولید می کند. پس می توان برطبق آزمون انتگرال سری هارمونیک و انتگرال غیر عادیاز نظر همگرایی مانند همدیگر هستند که در آن .
حال داریم:

پس انتگرال غیر عادی فوق واگرا است لذا بر طبق آزمون انتگرال سری هارمونیک واگرا است.

حال می خواهیم همگرایی سری بررسی کنیم. تابع را در نظر بگیرید. این تابع تابعی نزولی و پیوسته در بازه است. همچنین برای هر n طبیعی داریم: پس این تابع برای مقادیر طبیعی جملات سری را تولید می کند و داریم:
پس با بررسی شرایط آزمون انتگرال می توان گفت سری از نظر همگرایی با انتگرال غیر عادی وضعیت یکسانی دارند. که در آن t عددی در بازه است.
حال داریم:

پس انتگرال غیر عادی برابر یک مقدار عددی متناهی است و همگرا است لذا سری مورد نظر هم همانند این انتگرال همگرا است.
البته لازم به توضیح است که سری یک p-سری است که در آن p=2 است پس بدون انجام آزمون می توان گفت این سری همگرا است.

آزمون نسبت دالامبر

• حالت L=1 و آزمون راب:

سری
در ریاضی سری عبارت است از مجموع جملات یک دنباله.به عبارت دیگر سری شماری از اعداد است که بین آنها عملگر جمع قرار گرفته است.

...+5+4+3+2+1

سریها بر دو نوعند:سریهای متناهی و نامتناهی؛که سریهای متناهی را می توان با اعمال ساده جبری محاسبه کرد،ولی برای محاسبه سریهای نامتناهی باید از آنالیز کمک گرفت.
به عنوان مثال سری زیر یک سری متناهی است.




سری نامتناهی، سری میباشد که جملات آن محدود نیست.
به این سری توجه نمایید:

این سری یک سری عددی نامتناهی میباشد.که در حالت کلی به صورت زیر نشان داده میشود.که به آن سری هندسی میگویند.


a را جمله اول و k را قدر نسبت سری می نامند.اگر 1>k باشد این سری همگرا خواهد بود.

در صورتی که به سمت یک عدد متناهی سیر کند آن را همگرا مینامند. در غیر این صورت به آن یک سری واگرا گویند.

سزی توانی

حال به معرفی نوع دیگری از سریها به نام سریهای توانی می پردازیم:سریهایی را که جملات آن توابعی از متغیر x باشند را سریهای توانی گویند.و مجموعه مقادیر از x که به ازای آنها توابع موجود در سری تعریف شده و سری همگرا باشد را میدان همگرایی سری گویند.

هر سری تابعی به شکل
را یک سری توانی بر حسب میگویند.واضح است که جملات آن به فرم زیردر میآید:

مفهوم شهودی حد دنباله

دنباله را درنظر بگیرید. چند جمله اول این دنباله به این صورت است:

ملاحضه می‌کنید جملات این دنباله رفته رفته به عدد یک نزدیک می‌شوند. کار را ادامه بدهید و جملات را افزایش بدهید:

خوب تا اینجا به صورت شهودی، متوجه می‌شویم که هر چه بیشتر جلو می‌رویم و تعداد جملات (n) را افزایش می‌دهیم مقدار دنباله به عدد 1 نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود (لااقل تا الان که این‌طور بوده است!). حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا می‌توانیم حکمی کلی صادر کنیم و بگویم به طور کلی هرچه تعداد جملات را افزایش بدهیم جملات دنباله به عدد 1 نزدیک و نزدیک‌تر می‌شوند یا به عبارت دیگر می‌توان جملات دنباله را به هر مقدار دلخواه به عدد 1 نزدیک کرد به شرط اینکه مقدار n به قدر کافی بزرگ باشد؟

مثلا اگر ما n را برابر 1000000 قرار دهیم مقدار دنباله بدست می‌آید و اگر n را 1000000000000 انتخاب کنیم مقدار دنباله برابر خواهد بود با عدد که مقداری بسیار نزدیک به 1 است. آیا می‌توان با اطمینان گفت با انتخاب n مناسب می‌توان بیشتر و بیشتر به 1 نزدیک شد و تقریب‌های نزدیک‌تر به عدد 1 بدست آورد؟

خوب پس در اینجا با یک حدس روبرو هستیم که باید آن را ثابت یا رد کنیم، و آن این است که دنباله را به هر میزان می‌توان به 1 نزدیک کرد به شرط اینکه n به قدر کافی بزرگ انتخاب شده باشد. بیاید با هم سعی در اثبات این حدس کنیم.

اولین قدم برای اثبات این است که سعی کنیم مسئله را به زبان ریاضی (صوری) بنویسیم که بتوانیم آن را از نظر ریاضی بهتر بررسی کنیم. در واقع بیان ریاضی حدس ما این است که اگر ما هر همسایگی دلخواه از عدد 1 را در نظر بگیریم مانند (که اپسیلون عددی حقیقی مثبت و لخواه است)، بالاخره به‌ازای یک N ای جملات دنباله از این به بعد (از این N به بعد) در این همسایگی قرار می‌گیرند یعنی بالاخره برای هر یک N ای از اعداد طبیعی وجود دارد که برای n>N داریم:

به عنوان مثال اگر همسایگی را انتخاب کنیم (یعنی اپسیلون را 0.01 بگیریم) برای n>1000 خواهیم داشت: یعنی از جمله 1000ام به بعد همه جملات دنباله در این همسایگی قرار می‌گیرند. زیرا ، n>1000 و لذا داریم و در نتیجه:

پس در اینجا N مورد نظر N=1000 است که از این جمله به بعد جملات دنباله در همسایگی مورد نظر قرار می‌گیرند. پس حالا متوجه شدیم که برای اثبات حکم باید چکار کنیم. هدف ما این است که تحقیق کنیم آیا این N همواره برای هر همسایگی دلخواه (یا به عبارتی برای هر اپسیلون) وجود دارد یا نه؟

لذا با یک قضیه وجودی روبرو هستیم یعنی برای اثبات این قضیه کافی است برای هر همسایگی دلخواه از 1 مانند (که اپسیلون عددی حقیقی و مثبت است) یک N از اعداد طبیعی را معرفی کنیم که برای n>N داشته باشیم:

پس فرض می‌کنیم عددی حقیقی مثبت دلخواهی باشد (با این فرض در حقیقت یک همسایگی دلخواه از 1 را انتخاب کردیم)، سعی می‌کنیم برای این اپسیلون یک N ای از اعداد طبیعی پیدا کنیم که n>N نامساوی را ایجاب کند. خوب از اینجا به بعد باید به دنبال یک N بگردیم و یافتن N به ابتکار شما و مهارت‌های ریاضی شما بستگی دارد. ببینیم می‌توانیم با ایجاد تغییراتی در حکم، ایده‌ای برای معرفی N مناسب بگیریم یا نه؟ ما می‌خواهیم N مناسب طوری باشد که n>N ایجاب کند ازاینجا داریم:

خوب با توجه به اینکه روابط فوق برگشت پذیر است متوجه می‌شویم که با استفاده هر عدد طبیعی بزرگتر ازمی‌توان نامساوی را نتیجه گرفت، یعنی ایجاب می‌کند پس اگر ما یکی از اعداد طبیعی بزرگتر از را به عنوان N مناسب معرفی کنیم حکم ثابت می‌شود. اما چه N ای؟
بیاید قرار دهیم که نماد نماد جزء صحیح است. بوضوح N ای که معرفی کردیم عدی طبیعی است و همچنین بنابر خواص جز صحیح عددی بزرگتر از است. پس یک N را پیدا کردیم و ادعا می‌کنیم این N همان N مناسبی است که n>N نامساوی را ایجاب می‌کند زیرا:

پس چون اپسیلون دلخواه بود N معرفی شده برای هر اپسیلون مناسب است. یعنی برای هر همسایگی دلخواهی از 1 که انتخاب کنیم مانند کافی است N را برابر بگیریم که در این صورت جملات دنباله از این N به بعد همگی در همسایگی مورد نظر ما قرار می‌گیرند. و به این ترتیب درستی حدس ما معلوم می‌شود. در دنباله می‌توانیم جملات دنباله را به اندازه دلخواه به 1 نزدیک کنیم به شرط اینکه n را به اندازه کافی بزرگ اختیار کنیم. به بیان دیگر با افزایش n جملات دنباله به 1 نزدیک و نزدیک‌تر می‌شوند.

• در این حالت می‌گوییم حد دنباله برابر است با 1و یا به صورتی رایج‌تر می‌گوییم دنباله به عدد 1 همگرا است و می‌نویسیم وقتی ، آنگاه و یا به طور ساده‌تر .

حال که مفهوم حد یک دنباله را متوجه شدید کمی دقیق‌تر می‌شویم و سعی می‌کنیم تعریفی صوری از تعریف حد ارائه دهیم که به کمک آن بتوانیم قضایای حد را توجیه و اثبات کنیم.

تعریف حد یک دنباله

دنباله را دارای حد یا همگرا می‌گوییم هرگاه عددی حقیقی چون L موجود باشد به طوری که برای هر عدد حقیقی مثبت چون ، عددی طبیعی چون موجود باشد که برای هر n>N داشته باشیم:

به عبارت دیگر می‌گوییم دنباله دارای حد L است یا به L همگرا است هرگاه:

در این حالت می‌گوییم دنباله به L همگرا است و می‌نویسیم وقتی آنگاه یا . به بیان ساده‌تر و کمی دورتر از عبارات صوری ریاضی، L حد دنباله است اگر برای هر همسایگی دلخواه از L، جملات دنباله از شماره‌ای به بعد (از یک N ای به بعد) در این همسایگی دلخواه قرار بگیرند یا اینکه جملات دنباله را بتوان به قدر کافی به L نزدیک کرد به شرط اینکه n به قدر کافی بزرگ باشد.

همچنین می‌گوییم دنباله حد نامتناهی یا بینهایت دارد هرگاه:

به عبارت دیگر دنباله حد نامتناهی یا بینهایت دارد هرگاه از یک شماره‌ای چون N به بعد جملات دنباله از هرعدد حقیقی مثبت بزرگتر یا از هر عدد حقیقی منفی کوچکتر بشوند یعنی به طور بی کران بزرگ یا کوچک شوند. در این حالت می‌نویسیم:

• دنباله را یک بینهایت کوچک می‌گوییم هرگاه و یک بینهایت بزرگ می‌گوییم هرگاه

با استفاده از تعریف فوق می‌توانیم به اثبات قضایای حدود بپردازیم. روش اثبات همان روشی است که در قسمت قبلی از آن استفاده کردیم. حال به عنوان تمرین می‌خواهیم با استفاده از تعریف حد دنباله‌ها ثابت کنیم:

ابتدا حکم را مشخص می‌کنیم. می‌خواهیم نشان دهیم:

کافی است m مناسب را برای هر معرفی کنیم. بیاید مانند مثالی که قبلا بررسی کردیم سعی کنیم از حکم m مناسب را استخراج کنیم. با فرض دلخواه و از این پس ثابت، m مطلوب ما m ای است که برای هر n>m داشته باشیم از اینجا داریم:

اما نامساوی فوق برای هر برقرار نمی‌باشد (به عنوان مثال برای اپسیلون برابر با 3) پس m ای که ما از این طریق بدست می‌آوریم برای ما مناسب نمی‌باشد پس با کمی در روش خود تجدید نظر کنیم. برای این کار سعی می‌کنیم به نوعی نامساوی را تغییر دهیم. داریم:

حال اگر m مناسب را از نامساوی جدید پیدا کنیم قطعاً برای نامساوی اصلی نیز مناسب خواهد بود (در واقع دلیل این مسئله این است که چیزی که برای ما مهم است نتیجه حاصل از برگشت این روابط است). با استفاده از نامساوی جدید داریم:

حال کافی است m را عددی طبیعی بزرگتر از اختیار کنیم مثلاً حال ادعا می‌کنیم این همان m ای است که برای هر n>m داریم:

زیرا:

حال در قسمت بعدی به بررسی قضایای حد دنباله‌های و نحوی محاسبه حدود دنباله‌ها می‌پردازیم.

• به عنوان تمرین ثابت کنید دنباله واگرا است.

قضایای حد دنباله‌ها

• قضیه1: حد یک دنباله در صورت وجود، منحصر بفرد است.

برهان:
فرض می‌کنیم دنباله به و همگرا باشد(فرض خلف). چون داریم:

از طرفی چون داریم:

حال قرار می‌دهیم ، در این صورت برای هر n>m داریم و که این دو باهم ایجاب می‌کنند:

حال قرار می‌دهیم که در این صورت خواهیم داشت:

که این تناقض است. پس فرض خلف باطل و حکم برقرار است.

• قضیه 2: هر دنباله همگرا کراندار است.

برهان: فرض می‌کنیم دنباله همگرا به L باشد. نشان می‌دهیم عددی چون k وجود دارد که برای هر عدد طبیعی n داریم:

بنا به فرض چون به L همگرا است لذا داریم:

همچنین بنا به خواص قدر مطلق داریم:

اما این نامساوی برای n>m درست خواهد بود و سایر جملات یعنی ممکن است در این نامساوی صدق نکنند پس قرار می‌دهیم:

در این صورت برای هر n طبیعی داریم که این نشان می‌دهد k یک کران برای دنباله مورد نظر است و حم ثابت می‌شود.

• قضیه 3: حد یک دنباله با جملات نامنفی، نامنفی است و حد یک دنباله با جملات نامثبت، نامثبت است.

برهان:
فرض می‌کنیم دنباله‌ای همگرا به L، باجملات نامنفی باشد یعنی برای هر n طبیعی داشته باشیم ، نشان می‌دهیم. فرض می‌کنیم (فرض خلف). در این صورت چون دنباله به L همگرا است بنا به تعریف داریم:

قرار می‌دهیم خواهیم داشت:

ک این با فرض نامنفی بودن جملات دنباله در تناقض است، پس فرض خلف باطل و حکم برقرار است. حکم دوم نیز به طریق مشابه اثبات می‌شود.

• قضیه 4: اگر دنباله به L همگرا باشند که ، جملات دنباله از شماره‌ای به بعد با L هم‌علامت می‌باشند.

برهان:
ابتدا فرض می‌کنیم L>0، در این صورت چون دنباله به L همگرا است داریم:

فرض می‌کنیم در این صورت برای هر n>m داریم:

پس از یک شماره‌ای به بعد (از یک m ای به بعد) داریم و لذا در این حالت حکم برقرار است. حالت L<0 نیز به طریق مشابه اثبات می‌شود.

• قضیه 5: اگر و دو دنباله باشند که به ترتیب به

و همگرا می‌باشند آنگاه:

برهان:
به عنوان نمونه مورد اول را ثابت می‌کنیم.
چون به l همگرا است داریم:

و چون به همگرا است داریم:

با فرض ، برای هر n>m داریم و
که با جمع طرفین نامساوی داریم:

پس این نشان می‌دهد که:

و برهان حکم کامل است.

• قضیه 6: اگر دنباله به همگرا باشد و بههمگرا باشد و برای هر n طبیعی، آنگاه

برهان:
فرض می‌کنیم در این صورت چون برای هر n طبیعی داریم لذا پس بنا به قضیه 3، حد نامنفی است پس داریم:

• قضیه 7: مجموع و تفاضل دو دنباله همگرا همگرا است.

برهان: این قضیه مستقیما از قضیه 5، قسمت اول نتیجه می‌شود.

• قضیه 8: اگر دنباله همگرا باشد و دنباله واگرا باشدو واگرا می‌باشند.

برهان:
اثبات به برهان خلف است. فرض می‌کنیم همگرا باشد، در این صورت بنا به قضیه قبل چون تفاضل دو دنباله همگرا، همگرا است پس نیز همگرا است که این تناقض است. پس فرض خلف باشد و واگرا است. به طریق مشابه ثابت می‌شود نیز واگرا است

قضیه ساندویچ یا فشردگی

اگر و و سه دنباله باشند به طوری که برای هر n طبیعی، داشته باشیم و نیز آنگاه:

برهان: برطبق فرض چون داریم:

همچنین چون داریم:

حال با فرض برای هر n>m داریم:

و چون بنا به فرض پس:

و لذا که این نشان می‌دهد:

• نتیجه: اگر دنباله‌ای کراندار و دنباله به صفر همگرا باشد آنگاه:

برهان:
برطبق فرض چون کراندار است پس عددی چون k وجود دارد که برای هر n طبیعی داشته باشیم پس:

اما از طرفی پس بنا بر قضیه ساندویچ داریم:

قضیه بولتسانو-وایراشتراس

هر دنباله یکنوا و کراندار همگرا است. به عبارت دقیقتر هر دنباله صعودی و کراندار به سوپریمم خود (sup) و هر دنباله نزولی کراندار به اینفیمم خود (inf) همگرا است.
برهان:
ابتدا فرض می‌کنیم دنباله‌ای صعودی و کراندار باشد و E مجموعه همه جملات دنباله باشد، چون زیرمجموعه‌ای ناتهی از اعداد حقیقی و کراندار است بنابر تمامیت اعداد حقیقی دارای کوچکترین کران بالا یا سوپریمم است. قرار می‌دهیم: به عبارت دیگر فرض می‌کنیم c کوچکترین کران بالای دنباله باشد. حال نشان می‌دهیم به c همگرا است. چون c سوپریمم است به ازائ هر ε>0 مفروض، به ازای عدد طبیعی N وجود دارد که . پس برای هرε>0 دلخواه بازه شامل جمله‌ای از چون است. اما چون دنباله صعودی است برای هر n>N داریم: و این نشان می‌دهد: .
به همین صورت ثابت می‌شود اگر نزولی و کراندار باشد به اینفیمم همگرا است و برهان کامل می‌شود.

تصاعد هندسی

به دنباله‌ای که رابطه بازگشتی آن باشد یک دنباله هندسی یا تصاعد هندسی گفته می‌شود.
را قدرنسبت تصاعد هندسی می‌نامیم.
اگر و باشد، دنباله اکیداً صعودی خواهد بود و اگر و دنباله اکیداً نزولی خواهد بود.
رابطه صریح دنباله هم به صورت می‌باشد که واضح نیز به نظر می‌رسد.
مسأله‌ای که در تصاعد هندسی قابل تأمل می‌باشد مجموع جملات آن است.
اگر را مجموع جملات تا تعریف کنیم:

آنگاه دنباله‌ای با رابطه بازگشتی زیر خواهد بود:

اما مقدار صریح نیز به سادگی قابل محاسبه می‌باشد که داریم:

---

مثال

اگر مجموع جملات دنباله هندسی با عنصر اول و قدرنسبت و مجموع جملات دنباله هندسی دیگری با همان عنصر اول ولی قدرنسبت باشد. رابطه و را بدست آورید؟
حل .

!مقدمه
همانطور که می‌دانیم اصطلاح "سری" را برای کمیت‌هایی که با ضابطه معینی مرتب شده‌اند بکار می‌بریم. هر یک از این کمیت‌ها را یک جمله سری و جمله nام را که برحسب n نوشته می‌شود جمله عمومی می‌نامیم.

تعریف

اگر جمله عمومی یک سری بصورت باشد که در آن d , a عددهای ثابت و مستقل از n هستند، سری را تصاعد حسابی می‌نامیم. از تعریف بدست می‌آید:

پس تفاضل هر دو جمله متوالی تصاعد حسابی مقدار ثابت d است. به همین سبب d را تفاضل مشترک تصاعد حسابی می‌نامند. همچنین به ازای n=1 ، . پس ، a جمله اول تصاعد حسابی است. بنابراین جمله‌های دیگر تصاعد حسابی با افزودن مقدار ثابت d به جمله پیش از آن بدست می‌آید.

مجموع n جمله اول تصاعد حسابی

فرض می‌کنیم که جمله rام تصاعد حسابی باشد، یعنی . می خواهیم را که با نشان داده می‌شود، حساب کنیم. اکنون ، سری دیگری می‌سازیم که در آن n جمله اول تصاعد حسابی با ترتیب عکس قرار گرفته باشند سری جدید بصورت زیر است:

مجموع این سری همان مجموع n جمله اول تصاعد حسابی است. پس ،


معمولا جمله nام ، یعنی را با l نشان می‌دهیم. پس

ویژگی‌ها

• اگر عددی را به همه جمله‌های یک تصاعد حسابی اضافه کنیم یا از آنها کم کنیم یک تصاعد حسابی دیگر با همان تفاضل مشترک بدست می‌آید.
• اگر همه جمله‌های یک تصاعد حسابی در عددی ضرب یا بر عددی تقسیم شوند یک تصاعد حسابی دیگر با تفاضل مشترک متفاوت بدست می‌آیند.

برای اثبات این ویژگی‌ها ، جمله nام تصاعد حسابی اولیه را و جمله nام سری حاصل از اضافه کردن b به هر جمله را با و جمله nام سری حاصل از ضرب هر جمله در k را با نشان می‌دهیم. بنابراین با تشکیل داریم: سری یک تصاعدحسابی با جمله اول a+b و تفاضل مشترک d است همچنین یک تصاعد حسابی با جمله اول و تفاضل مشترک است.

• جمله nام هر تصاعد حسابی را می‌توان به شکل نوشت. چون a-d و d مقدارهای ثابت‌اند. جمله nام را می‌توان به شکل A+nB نوشت که عبارتی خطی از n است. برعکس ، اگر جمله nام یک سری عبارتی خطی از n باشد. آن سری یک تصاعد حسابی است زیرا اگر جمله nام یک سری باشد داریم: . پس این سری یک تصاعد حسابی با جمله اول A+B و تفاضل مشترک B است.
  
  
• مجموع n جمله اول یک تصاعد حسابی ، یعنی را می‌توان به شکل نوشت. که عبارتی درجه دوم از n است. پس مجموع n جمله اول هر تصاعد حسابی را می‌توان بشکل نوشت که B , A عددهای ثابت و مستقل از n هستند. برعکس ، اگر مجموع n جمله اول یک سری به شکل یعنی عبارتی درجه دوم از n بدون جمله ثابت باشد، آن سری یک تصاعد حسابی است.

مقدارهای منفی n

ممکن است جمله‌های یک تصاعد حسابی از سوی دیگر نیز ادامه داشته باشد و جمله‌های قبل از a قرار گیرند یعنی تصاعد حسابی بصورت زیر است:

جمله‌های سمت چپ a با قرار دادن مقدارهای 0 و 1- و 2- و ... بجای n در بدست آمده‌اند برای بدست‌ آوردن عده جمله‌هایی که مجموع آنها برابر مقدار معلوم S است باید معادله را حل کنیم. این معادله برحسب n از درجه دوم است و ممکن است یک یا هر دو ریشه آن منفی باشد. اگر مقداری منفی از کمیت n باشد که در این معادله صدق کند داریم:

یعنی اگر از حل معادله مقداری صحیح ولی منفی برای n بدست آوریم و جمله قبل از a را ، که با a-d شروع می‌شوند در نظر گیریم مجموع -S را بدست می‌آوریم.

واسطه حسابی

تعریف

واسطه حسابی n کمیت برابر است با مجموع همه آنها بخش‌بر n. بنابراین اگر کمیت‌های مورد نظر باشند واسطه حسابی آنها برابر است با . واسطه حسابی دو کمیت b , a که آنها را c می‌نامیم، است. بنابراین ، a و c و b یک تصاعد حسابی تشکیل می‌دهند زیرا اگر داریم:

همیشه می‌توانیم بین هر دو کمیت b , a هر عده کمیت دیگر بگنجانیم بطوری که سری بدست آمده تصاعد حسابی باشد. جمله‌هایی را که به این ترتیب بین b , a گنجانده می‌شوند واسطه‌های حسابی می‌نامیم. اگر n جمله بین b , a بگنجانیم یک سری با n+2 جمله بدست می‌آید که جمله اول آن a و جمله آخرش b است. بنابراین . یعنی در نتیجه تصاعدهای حسابی بدست آمده چنین است:

مفهوم دنباله

مجموعه اعداد زوج طبیعی را در نظر بگیرید اولین عضو این مجموعه عدد 2 است و n امین عضو آن 2n است.
حال مجموعه اعداد طبیعی را در نظر بگیرید: با کمی دقت متوجه می‌شویم که می‌توان یک تابع یک به یک از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج تعریف نمود که در عضو از مجموعه اعداد طبیعی را به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر کند.(مانند شکل)

اگر این تناظر را به صورت مجموعه زوج های مرتب بنویسیم خواهیم داشت: متوجه می‌شویم تابع f از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد طبیعی زوج، تابعی است یک به یک که هر عضو از دامنه خود را دو برابر می‌کند و به یک عضو از مجموعه اعداد طبیعی زوج متناظر می‌کند و می‌توان چنین ضابطه‌ای برای آن تعیین نمود:
حال در مثالی دیگر تابع را در نظر بگیرید. بیاید بجای اینکه به جای متغیر تابع عددی حقیقی قرار دهیم، متغیرهای طبیعی را جایگزین کنیم. در این صورت داریم:

مشاهده می‌کنید این تابع نیز هر عدد طبیعی را به عنوان ورودی دریافت می‌کند و آن را به یک عدد دیگر نسبت می‌دهد با این تفاوت که این تابع دیگر یک به یک نمی‌باشد و فقط بین اعداد طبیعی و مجموعه اعداد حقیقی یک تناظر بوجود می‌آورد.
نمونه های دیگری نیز از این توابع وجود دارد مثلاً توابع ، ، که در آنها n عددی طبیعی است.
به چنین توابعی که از از مجموعه اعداد طبیعی به یک مجموعه دیگر تعریف می‌شوند دنباله می‌گوییم. در دنباله اعداد طبیعی زوج، عدد 2 از برد تابع را جمله اول، عدد 4 را جمله دوم و به همین ترتیب عدد 2n را جمله n ام دنباله می‌گوییم. همین شیوه برای سایر دنباله‌ها نیز اعمال می‌شود.
در یک دنباله، اعداد طبیعی در دامنه به گونه‌ای به اعضای برد متناظر می‌شوند که عدد طبیعی متناظر شده بیانگر شماره آن جمله در برد باشد به عنوان مثال در دنباله اعداد طبیعی زوج، عدد 1 در دامنه به عدد 2 در برد که اولین جمله دنباله است متناظر می‌شود و عدد 10 از دامنه به عدد 20 از برد که جمله دهم است متناظر می‌شود و به همین ترتیب عدد n‌ در دامنه به عدد 2n از برد که جمله n ام است متناظر می شود.

تعریف دنباله

---

دنباله (sequence) تابعی است که دامنه آن مجموعه اعداد طبیعی یا قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی باشد. پس در حالت کلی یک دنباله چون f تابعی است از مجموعه اعداد طبیعی به یک مجموعه دیگر چون A.

اگر دامنه دنباله قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی باشد دنباله را متناهی می‌گوییم و اگر دامنه دنباله خود مجموعه اعداد طبیعی باشد دنباله را نامتناهی می‌گوییم. به عنوان مثال دنباله اعداد طبیعی زوج کوچکتر از 10 یک دنباله متناهی است چرا که دامنه آن قطعه ای از مجموعه اعداد طبیعی یعنی است و دنباله اعداد زوج دنباله‌ای نامتناهی است چرا که دامنه آن خود مجموعه اعداد طبیعی است.

برای مشخص کردن یک دنباله مانند هر تابع دیگر باشد دامنه و ضابطه آن را مشخص کرد. ضابطه یک دنباله را در اصطلاح جمله عمومی آن دنباله می‌گوییم. اگر f یک دنباله باشد جمله عمومی آن را با (f(n و یا به صورتی معمول‌تر به صورت نشان می‌دهیم. پس برای نمایش مقدار دنباله f به ازای عدد طبیعی n بجای نماد (f(n معمولا از نماد استفاده می‌کنیم. به عنوان مثال در دنباله اعداد طبیعی زوج داریم:
برای نمایش خود دنباله از نماد استفاده می‌کنیم. پس دنباله اعداد طبیعی زوج را به این صورت نشان می دهیم:

دنباله حقیقی

---

دنباله را دنباله حقیقی می‌گویند هرگاه تابعی از مجموعه اعداد طبیعی به مجموعه اعداد حقیقی باشد به عبارت دیگر تابعرا یک دنباله حقیقی می‌گویند.
به عنوان مثال دنبالهدنباله‌ای حقیقی است چرا که برد آن از مجموعه اعداد حقیقی است.

• لازم به توضیح است معمولاً منظور از دنباله، دنباله حقیقی است.

نمودار یک دنباله

از آنجا که دنباله یک تابع با دامنه عداد طبیعی است می‌توان دنباله را بوسیله نمودار نیز نمایش داد. این نمایش با دو روش انجام می‌شود. در یک روش می‌توان مانند توابع دیگر آن را در دستگاه مختصات دکارتی رسم کرد و در روشی دیگر می‌توان جملات آن را به همراه ذکر شماره آن جمله روی محور اعداد نشان داد. با ذکر یک مثال دو روش را توضیح می‌دهیم. به عنوان مثال می‌خواهیم دنباله اعداد زوج را به هر دو روش نشان دهیم:

• بوسیله رسم نمودار در دستگاه مختصات دکارتی: برای این منظور محور افقی را برای متغیر انتخاب کرده و محور عمودی را برای نمایش تغییرات جملات دنباله استفاده می‌کنیم. نمودار این دنباله به این صورت خواهد بود:

• بوسیله رسم نمودار روی محور اعداد: برای این منظور روی محور اعداد مقدار جملات دنباله را یافته و شماره جمله را در بالا آن می‌نویسیم مانند این نمودار:

جمله عمومی یک دنباله

---

همانطور که گفته شد یک دنباله تابعی با دامنه مجموعه اعداد طبیعی است پس برای دنباله ها در حالت کلی می‌توان ضابطه تعیین کرد که به ضابطه یک دنباله جمله عمومی آن دنباله می‌گویند. جمله عمومی یک دنباله به منزله یک قانون است که بوسیله آن هر عضو از دامنه(مجموعه اعداد طبیعی) به یک عضو از مجموعه برد متناظر می‌شود و به ازای هر مقدار از متغیر n، جملات دنباله را تولید می‌کند.
به عنوان مثال جمله عمومی دنباله اعداد طبیعی زوج به صورت است که همانند ضابطه تابع بوسیله آن می‌توان با قرار دادن هر n طبیعی جمله n ام را بدست آورد.
البته لازم به ذکر است همه دنباله‌ها دارای جمله عمومی نمی‌باشند. به عنوان مثال تا کنون جمله عمومی برای دنباله اعداد اول تعیین نشده است. همچنین ممکن است یک سری از اعداد را به عنوان جملات دنباله انتخاب نمود که نتوان میان آنها رابطه ای برقرار نمود و جمله عمومی برای آنها نوشت.
حال ممکن است این سوال پیش بیاید که آیا با در اختیار داشتن جملات یک دنباله می توان جمله عمومی آن را تعیین کرد؟
پاسخ را با یک مثال بررسی می‌کنیم. دنباله زیر را در نظر بگیرید:

می‌خواهیم جمله عمومی این دنباله را با توجه به جملاتش تعیین کنیم.
با مشاهده‌ی جملات ممکن است حدس شما این باشد که این دنباله، دنباله اعداد طبیعی فرد بزرگتر از یک است و جمله عمومی آن را می‌توان به این صورت نوشت:

اما این ممکن است یک جمله عمومی برای این دنباله باشد. ممکن است جملات دنباله در ادامه به این روال پیش نروند
و جمله چهارم این دنباله عددی چون 9 نباشد! چرا که ما از جمله سوم به بعد دنباله هیچ اطلاعی نداریم و هر عدد دیگری نیز می‌تواند باشد!
به عنوان مثال جمله عمومی دنباله فوق را می‌توان به این صورت نوشت:

با نوشتن جملات این دنباله داریم:

مشاهده می‌کنید جملات این دنباله تا جمله سوم همانند دنباله است ولی از جمله سوم به بعد مانند آن دنباله عمل نمی کند.
پس همواره از روی جملات یک دنباله نمی‌توان جمله عمومی آن را به درستی تعیین کرد. اما معمولاً برای نوشتن جمله عمومی یک دنباله با توجه به جملات آن، ساده ترین حالت را در نظر می‌گیریم. لذا جمله عمومی برای این دنباله صحیح‌تر است و زودتر به ذهن خطور می‌کند.

رابطه بازگشتی و دنباله بازگشتی

به دنباله اعداد زوج دقت کنید: ...,2,4,6,8,10,12
با کمی دقت در می‌یابید که برای بدست آوردن هر جمله کافی است جمله قبل را با عدد دو جمع کنید. به عنوان مثال برای بدست آوردن جمله پنجم(10) کافی است جمله چهارم(8) را با عدد دو جمع کنید. به این رابطه که بین جملات این دنباله برقرار است رابطه بازگشتی می گوییم.

• تعریف: در بسیاری از دنباله‌ها بین هر جمله و جملات ماقبل یک رابطه‌ای وجود دارد که بوسیله آن می‌توان جملات بعدی را تعیین نمود. به چنین رابطه‌ای، رابطه بازگشتی می‌گوییم و به دنباله‌هایی با این رابطه، دنباله بازگشتی می‌گوییم.

از معروف ترین این دنباله ها می توان به دنباله فیبوناتچی و دنباله لوکا اشاره کرد.
به عنوان مثال دنباله فیبوناتچی دارای چنین رابطه‌ای است که بوسیله آن مشخص می‌شود:

که جملات آن به این صورت است: ...,1,1,2,3,5,8,13,21
مشاهده می‌شود برای بدست آوردن هر جمله از جمله دوم به بعد کافی است دو جمله ماقبل آن جمله را با هم جمع کنیم. مثلا برای محاسبه جمله نهم داریم:

از آنجا که دنباله نیز تابع می‌باشد می‌توان حد آن را نیز بررسی کرد که برای اطلاع از نحوه تعریف حد دنباله‌ها و محاسبه آنها می‌توانید به مقاله حد دنباله رجوع کنید.

تابع دیریکله(Dirichlet Function)
اگر c و d دو عدد حقیقی متمایز باشند آنگاه تابع دیریکله را چنین تعریف می کنند:

این تابع چندضابطه‌ای را با نماد (D(x نشان می دهند و معمول ترین و صورت آن حالتی است که C=1 و ‌d=0 باشد که در این صورت تابع دیریکله به این صورت تعریف می شود:

تعریف فوق از تابع دیریکله را همچنین می‌توان با استفاده از آنالیز ریاضی به این صورت نشان داد:

به عنوان مثال:
اگر x=2 باشد آنگاه:

و اگر به جای x عدد پی که گنگ است را قرار دهیم:

اما چون لذا تابع دیریکله را می‌توان به عنوان تابع مشخصه اعداد گویا در مجموعه اعداد حقیقی در نظر گرفت.
از جمله ویژگی های مهم تابع دیریکله این است که در هیچ نقطه و بازه ای دارای حد نمی‌باشد، پیوسته و انتگرال پذیر هم نمی‌باشد.. به این ترتیب نموداری از آن نمی‌توان رسم کرد.

ادامه مطلب

ادامه مطلب

به ادامه مطلب مراجعه کنید...

ادامه مطلب

توابعی را که در طول زمان تکرار می‌شوند، توابع متناوب می‌گویند. این منحنی ها به صورت موج سینوسی یا کسینوسی هستند یعنی می‌توانند در فواصل زمانی معین تکرار گردند. به صورت نادقیق تابعی از اعداد حقیقی متناوب نامیده می‌شود، هرگاه مقادیر آن در فواصل معین تکرار شوند.
تابعمتناوب است اگر عددی حقیقی و غیر صفر مانند m باشد بطوری که:

• برای هر از دامنه ی ، عنصر نیز عضوی از دامنه ی باشد.
• برای هر از دامنه، شرط برقرار باشد.

در این تعریف یک دوره ی تناوب تابع متناوب نامیده می شود.
با توجه به رابطه 1 در تعریف فوق ، به سادگی دیده می‌شود که دامنه تعریف هر تابع متناوب باید بی‌کران باشد. به عبارت دیگر همه توابعی که دارای دامنه محدود هستند نامتناوب می‌باشند.

به ادامه مطلب مراجعه کنید...

ادامه مطلب